[论文解读] Polynomial cubic differentials and convex polygons in the projective plane

David Dumas, Michael Wolf|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文建立了复平面 $\mathbb{C}$ 上次数为 $d$ 的多项式三次微分的模空间与 $\mathbb{RP}^2$ 中定向凸 $(d+3)$-边形的射影等价类空间之间的同胚关系。通过使用 Cheng-Yau 定理与 Wang 的方法，从多项式三次微分构造出完备的双曲仿射球面，表明每个此类微分均可作为渐近于凸多边形的仿射球面的 Pick 微分，且该对应关系保持几何与动力对称性。

ABSTRACT

We construct and study a natural homeomorphism between the moduli space of polynomial cubic differentials of degree d on the complex plane and the space of projective equivalence classes of oriented convex polygons with d+3 vertices. This map arises from the construction of a complete hyperbolic affine sphere with prescribed Pick differential, and can be seen as an analogue of the Labourie-Loftin parameterization of convex RP^2 structures on a compact surface by the bundle of holomorphic cubic differentials over Teichmuller space.

研究动机与目标

• 刻画在 $\mathbb{C}$ 上作为渐近于 $\mathbb{RP}^2$ 中凸多边形的完备双曲仿射球面的 Pick 微分的多项式三次微分。
• 将 Labourie-Loftin 参数化从紧致曲面推广至 $\mathbb{RP}^2$ 中具有多边形无穷远边界之非紧致情形。
• 在次数为 $d$ 的多项式三次微分的模空间与凸 $(d+3)$-边形的射影等价类空间之间构造一个自然的同胚关系。
• 通过拟线性偏微分方程的上解与下解方法，证明具有预设多项式 Pick 微分的完备双曲仿射球面的存在性。
• 建立一个保持几何与动力对称性的对应关系，例如五边形的旋转对称性对应于 $z \mapsto e^{2\pi i/5}z$ 的不变性。

提出的方法

• 利用仿射球面的 Cheng-Yau 定理，在 $\mathbb{R}^3$ 上构造一个渐近于 $\mathbb{RP}^2$ 中凸多边形锥面的完备双曲仿射球面。
• 应用 Wang 的方法，将仿射球面的存在性问题转化为在给定全纯三次微分下求解 Blaschke 度量的拟线性偏微分方程。
• 使用上解与下解方法，证明与多项式三次微分相关的 Blaschke 度量的拟线性偏微分方程解的存在性。
• 将构造提升至万有覆盖空间，定义在轨道丛模空间之间的映射，随后在 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$ 与 $\mathrm{SL}_3\mathbb{R}$ 作用下取商。
• 建立多项式三次微分模空间与凸多边形模空间之间映射的连续性，从而证明同胚关系。
• 利用常微分方程的渐近行为分析与矩阵指数估计，控制相关联络方程解在极限下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\mathbb{C}$ 上的多项式三次微分可作为渐近于 $\mathbb{RP}^2$ 中凸多边形的完备双曲仿射球面的 Pick 微分？
• RQ2 是否可将 $\mathbb{RP}^2$ 结构在紧致曲面上的 Labourie-Loftin 参数化推广至具有多边形无穷远边界之非紧致区域？
• RQ3 如何描述 $\mathbb{RP}^2$ 中凸多边形的对称性与其对应多项式三次微分的自同构群之间的关系？
• RQ4 多项式三次微分的次数与对应凸多边形的顶点数之间的确切关系为何？
• RQ5 从多项式三次微分到凸多边形的映射是否光滑？其在轨道丛模空间上的正则性如何？

主要发现

• 仿射球面构造给出了一个良定义的同胚映射 $\alpha: \mathcal{MC}_d \to \mathcal{MP}_{d+3}$，其中 $\mathcal{MC}_d$ 表示 $\mathrm{Aut}(\mathbb{C})$-等价类的次数为 $d$ 的多项式三次微分的模空间，$\mathcal{MP}_{d+3}$ 表示 $\mathrm{SL}_3\mathbb{R}$-等价类的凸 $(d+3)$-边形的模空间。
• 对于正五边形，其对应的三次微分为 $z^2 dz^3$，其在 $z \mapsto e^{2\pi i/5}z$ 下的不变性反映了多边形的五重旋转对称性。
• 通过上解与下解方法构造 Blaschke 度量，确保对任意 $\mathbb{C}$ 上的多项式三次微分，均存在一个完备的双曲仿射球面。
• 证明方法依赖于在共形坐标系中控制 $|\phi|$-度量的增长，确保在区域边界附近存在一个半径线性增长的无零点圆盘。
• 通过矩阵指数估计控制相关常微分方程解的渐近行为，其界依赖于系数的 $L^1$-范数及小扰动。
• 映射 $\alpha$ 在两个方向上均为连续的，且空间 $\mathcal{MC}_d$ 与 $\mathcal{MP}_n$ 被证明为光滑轨道丛，提示 $\alpha$ 可能具有超越连续性的光滑性。