[论文解读] Polynomial Diffeomorphisms of $\C^2$. VIII: Quasi-Expansion

Eric Bedford, John Smillie|ArXiv.org|Mar 6, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文引入了复平面 $$\mathbb{C}^2$$ 上多项式微分同胚的准扩张概念，作为双曲性的推广，其定义基于鞍点处不稳定切丛上的规范度量。研究证明准扩张等价于半双曲性，并进一步证明准双曲系统（即 $f$ 与 $f^{-1}$ 均为准扩张）具有统一正的李雅普诺夫指数和稳定的动力结构，其结果可应用于最大熵实微分同胚。

ABSTRACT

This paper continues our investigation of the dynamics of polynomial diffeomorphisms of C^2. We introduce a dynamical property of polynomial diffeomorphisms that generalizes hyperbolicity in the way that semi-hyperbolicity generalizes hyperbolicity for polynomial maps of the complex plane.

研究动机与目标

• 在缺乏临界点的情况下，将 $$\mathbb{C}^2$$ 上多项式微分同胚的双曲性推广至非均匀扩张的情形，结合递推关系与度量性质。
• 在鞍点处的不稳定切丛上定义一个规范度量，以捕捉即使不与欧氏度量等价时的扩张行为。
• 建立准扩张蕴含一致双曲性的条件，特别是通过有界面积畸变与一致化映射的正规族。
• 将准扩张与半双曲性联系起来，并证明其对周期轨道蕴含统一正的李雅普诺夫指数。
• 发展分析不稳定流形结构及其在 $J^*$-集中极限的工具。

提出的方法

• 通过满足 $\max_{|\zeta|\leq 1} G^+ \circ \psi_p = 1$ 的共形一致化映射 $\psi_p: \mathbb{C} \to W^u(p)$，在鞍点 $p$ 处的不稳定切丛 $E^{u}_p$ 上定义规范度量 $\|\cdot\|^{\#}$。
• 将准扩张定义为该度量在所有鞍点上被常数 $\kappa > 1$ 一致扩张。
• 利用 Bishop 定理与引理 2.6，通过连续的曲面族 $V^u(x,r)$ 将 $W^u(p,r)$ 连续延拓至 $J^*$。
• 针对映射到 $\mathbb{C}^n$ 的正规全纯映射，证明有界面积畸变定理，利用环的极端长度与模长控制畸变。
• 应用最大模原理与格林函数估计（例如 $\max_{B(x,r)} G \geq \eta r^A$）来控制原像大小并推导出一致扩张。
• 利用函数方程 $g^k \circ \psi_y = \psi_x \circ L$（其中 $L: \zeta \mapsto \lambda\zeta$ 为线性映射）证明 $|\lambda|$ 有下界，从而推出准扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在缺乏临界点的情况下，如何将 $$\mathbb{C}^2$$ 上多项式微分同胚的双曲性进行推广？
• RQ2 在不稳定切丛上，何种规范度量能捕捉即使不与欧氏度量等价时的扩张行为？
• RQ3 在何种条件下，准扩张能蕴含一致双曲性或半双曲性？
• RQ4 有界面积畸变与一致化映射的正规族如何与准扩张相关联？
• RQ5 映射族 $\Psi_x$（由 $\tau(x)$ 定义）的阶与不稳定叶状结构 $\mathcal{W}^u$ 的局部结构之间存在何种关系？

主要发现

• 准扩张严格弱于一致扩张，因为规范度量 $\|\cdot\|^{\#}$ 不必与欧氏度量等价。
• 对于 $$\mathbb{C}^2$$ 上的多项式微分同胚，准扩张与半双曲性等价，如定理 A.5 所示。
• 对于准扩张映射，任意遍历不变测度下的最大李雅普诺夫指数严格为正，这意味着 $J^*$ 中的所有周期点均为鞍点。
• 在准双曲系统中，周期轨道的李雅普诺夫指数被统一地远离零，如推论 6.3 所述。
• 若 $f$ 为准扩张，则度量 $\|\cdot\|^{\#}_x$ 在 $J^*$ 上被一致扩张，这蕴含存在一个连续的曲面族 $V^u(x,r)$，可将 $W^u(p,r)$ 从鞍点连续延拓至整个 $J^*$。
• 映射 $\psi_x$ 限制在 $\psi_x^{-1}(B(0,\epsilon))$ 上的次数是统一有界的，这对控制畸变与证明准扩张至关重要。