[论文解读] Polynomial entropy for the circle homeomorphisms and for $C^1$ nonvanishing vector fields on $\T^2$

Clémence Labrousse|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文建立了保向圆周同胚与二维环面上 $C^1$ 非零向量场的多项式熵。证明了当同胚共轭于旋转时，其多项式熵为 0，否则为 1。对于环面流，多项式熵取值于 [0,1]，若存在周期轨道则为 1（除非共轭于旋转，此时为 0）。该结果通过动力度量与覆盖数估计，将复杂度度量细化至超越拓扑熵的层次。

ABSTRACT

We prove that the polynomial entropy of an orientation preserving homeomorphism of the circle equals 1 when the homeomorphism is not conjugate to a rotation and that it is 0 otherwise. In a second part we prove that the polynomial entropy of a flow on the two dimensional torus associated with a $C^1$ nonvanishing vector field is less that $1$. We moreover prove that when the flow possesses periodic orbits its polynomial entropy equals 1 unless it is conjugate to a rotation (in this last case, the polynomial entropy is zero).

研究动机与目标

• 通过引入多项式熵作为更精细的度量，以超越拓扑熵的方式细化动力复杂度的分析。
• 确定保向圆周同胚的多项式熵的确切值。
• 估计二维环面上 $C^1$ 非零向量场的多项式熵，并刻画其与周期轨道及共轭于旋转的关系。
• 通过区分其内在动力复杂度，提供对零熵系统更细致的分类。

提出的方法

• 使用动力度量 $d_n^f(x,y) = \max_{0 \leq k \leq n-1} d(f^k(x), f^k(y))$ 衡量轨道随时间的分离程度。
• 通过覆盖数 $G_n^f(Y,\varepsilon)$ 的增长速率定义多项式熵，具体为 $\lim_{\varepsilon \to 0} \limsup_{n \to \infty} \frac{\log G_n^f(Y,\varepsilon)}{\log n}$。
• 利用 $(n,\varepsilon)$-分离集与在 $d_n^f$ 下直径 $\leq \varepsilon$ 的集合，应用覆盖与分离论证。
• 分析环面上轨道的结构，根据动力学与拓扑性质将区域划分为 (I)、(II) 与 (III) 型。
• 通过不变邻域与流不变性局部化熵估计，尤其关注周期轨道及其聚点附近。
• 应用动力系统理论结果，包括 Denjoy 理论与共轭于旋转的结论，以分类多项式熵为零的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 保向圆周同胚的多项式熵的确切值是什么？
• RQ2 在 $\mathbb{T}^2$ 上，$C^1$ 非零向量场在何种情况下多项式熵为 1，何种情况下为 0？
• RQ3 周期轨道的存在如何影响环面流的多项式熵？
• RQ4 多项式熵能否区分零拓扑熵系统，如旋转与 Denjoy 型同胚？

主要发现

• 保向圆周同胚的多项式熵为 0 当且仅当其共轭于旋转；否则为 1。
• 在 $\mathbb{T}^2$ 上，$C^1$ 非零向量场的多项式熵取值于区间 [0,1]。
• 若关联流存在周期轨道，则其多项式熵为 1，除非其时间-1 映射共轭于旋转，此时为 0。
• 流在周期轨道及其聚点的紧致不变邻域上，多项式熵有上界 1。
• 环面上所有周期轨道的并集是紧集，从而可借助有限覆盖论证控制全局熵。
• 证明依赖于构造具有受控覆盖增长的不变邻域，表明在所有考虑情形下，多项式熵至多为 1。