[论文解读] Polynomial entropy of Brouwer homeomorphisms

Louis Hauseux, Frédéric Le Roux|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种计算布劳威尔同胚（Brouwer homeomorphisms）多项式熵的新方法——通过商构造分析系统的游荡部分。研究证明，多项式熵可取 [2, ∞] 内任意实数值，首次提供了具有非整数多项式熵、零拓扑熵但无限多项式熵的自然系统实例。

ABSTRACT

We study the polynomial entropy of the wandering part of any invertible dynamical system on a compact metric space. As an application we compute the polynomial entropy of Brouwer homeomorphisms (fixed point free orientation preserving homeomorphisms of the plane), and show in particular that it takes every real value greater or equal to 2.

研究动机与目标

• 建立紧致度量空间上动力系统游荡部分的多项式熵的一般理论。
• 将该理论应用于计算布劳威尔同胚的多项式熵，布劳威尔同胚是平面上无不动点、保定向的同胚。
• 证明多项式熵是布劳威尔同胚的完全共轭不变量，可区分不可数多个共轭类。
• 构造具有任意多项式熵值（在 [2, ∞) 内）的布劳威尔同胚显式例子，包括非整数值。
• 探讨多项式熵与其他不变量（如振荡集）之间的联系，提示高多项式熵可能蕴含非空振荡集。

提出的方法

• 将游荡多项式熵定义为将所有非游荡点坍缩为单一点 ∞ 后所得商空间的多项式熵。
• 使用 X\{∞} 中的有限个紧致子集 {U₁,…,Uₗ} 对轨道进行编码，通过访问的集合序列表示，其中 ∞ 表示访问之间的时序间隔。
• 利用组合计数与转移映射 φ_{k,k+1} 的区间分析，建立长度为 n 的不同编码数的上下界。
• 通过与积分的渐近比较估计编码集的增长率，进而通过 limsup_n→∞ log S(n,ε)/log n 得到多项式熵。
• 运用中谷（Nakayama）技巧，结合具有黎布（Reeb）胞腔的光滑流，构造具有受控动力学的布劳威尔同胚显式例子。
• 证明编码数的增长率约为 n^α（α ≥ 2），从而得出多项式熵 h_pol(f) = α。

实验结果

研究问题

• RQ1 布劳威尔同胚的多项式熵可能取值范围是什么？
• RQ2 当拓扑熵为零时，多项式熵能否区分非共轭的布劳威尔同胚？
• RQ3 能否构造出具有非整数多项式熵的布劳威尔同胚？
• RQ4 游荡集的结构与转移映射如何影响可区分轨道的增长率？
• RQ5 多项式熵与其他共轭不变量（如振荡集）之间存在何种关系？

主要发现

• 布劳威尔同胚的多项式熵为 1 当且仅当其共轭于平移。
• 不存在多项式熵位于区间 (1,2) 内的布劳威尔同胚，表明可能取值存在间隙。
• 对任意实数 α ∈ [2, ∞)，均存在一个布劳威尔同胚 f_α，其多项式熵恰好为 α。
• 所构造的例子是 C^∞ 流的时间-1 映射，具有单个黎布胞腔和有限个边界分量。
• 本文首次给出了具有非整数多项式熵、零拓扑熵但无限多项式熵的自然动力系统实例。
• 证明技术依赖于利用区间动力学与转移映射 φ_{k,k+1} 构造轨道编码，证明不同编码数的渐近增长率为 n^α，从而得出 h_pol(f) = α。