[论文解读] Polynomial estimates and radius of analyticity on real Banach spaces

Marios K. Papadiamantis|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2012

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了实Banach空间上幂级数的多项式估计，并界定了解析性半径，证明了解析性半径至少为 $\rho/\sqrt{2}$，其中 $\rho$ 是一致收敛半径。结果将复Banach空间中的经典估计推广至实Banach空间，特别是 $\ell_p$ 空间，通过范数比较和多重线性型的Stirling型界实现。

ABSTRACT

A generalization of Problem 73 of Mazur and Orlicz in the Scottish Book was introduced from L. Harris. The exact value of the constant that appears there is known when complex normed linear spaces are considered. In this paper, we give estimates in the case of an arbitrary real normed linear space and a real $\ell_p$ space. Moreover, if $F(x)$ is a power series, $ρ$ its radius of uniform convergence and $ρ_{\substack{A}}$ its radius of analyticity, we prove that $ρ_{\substack{A}}\geqρ/\sqrt{2}$ and give some respective results for the $n$th Fréchet derivative of $F(x)$.

研究动机与目标

• 将Mazur和Orlicz的第73题从复Banach空间推广至实Banach空间，特别是 $\ell_p$ 空间。
• 估计控制对称多重线性型范数的常数 $c(k_1,\ldots,k_n,X)$，该常数以相应齐次多项式表示。
• 根据其一致收敛半径 $\rho$，确定幂级数解析性半径 $\rho_A$ 的下界。
• 分析实Banach空间中幂级数Fréchet导数的收敛行为。

提出的方法

• 利用对称多重线性型及其关联多项式，推导出 $|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})|$ 的精确上界。
• 在多重线性型范数界推导中，应用Stirling近似估计随机变量的矩。
• 使用不等式 $\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$，以界实Banach空间中 $\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$ 的比值。
• 应用引理2.1，将泰勒级数系数的增长与一致收敛半径及解析性半径联系起来。
• 建立 $\limsup_{m\to\infty} \|L_m\|_{(2)}^{1/m} \leq \sqrt{2}/\rho$，从而导出下界 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$。
• 应用Chae关于Fréchet导数的结果，推导 $D^nF(x)$ 的收敛半径，表明当 $n=2$ 时 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$，当 $n \geq 3$ 时 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{e}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在实Banach空间中，最优常数 $c(k_1,\ldots,k_n,X)$ 是什么，使得 $|L(x_1^{k_1}\cdots x_n^{k_n})| \leq c(k_1,\ldots,k_n,X)\|\widehat{L}\|$ 成立？
• RQ2 对于实Banach空间上的幂级数，解析性半径 $\rho_A$ 与一致收敛半径 $\rho$ 之间有何关系？
• RQ3 Fréchet导数 $D^nF(x)$ 的收敛半径如何用 $\rho$ 表示？
• RQ4 复变量中的界 $c(k_1,\ldots,k_n,X) = \frac{k_1!\cdots k_n!}{k_1^{k_1}\cdots k_n^{k_n}}\frac{m^m}{m!}$ 能否推广至实Banach空间？
• RQ5 在实 $\ell_p$ 空间中，$\|L\|_{(n)}$ 关于 $\|\widehat{L}\|$ 的精确估计是什么？

主要发现

• 实Banach空间上幂级数的解析性半径 $\rho_A$ 满足 $\rho_A \geq \rho/\sqrt{2}$，其中 $\rho$ 为一致收敛半径。
• 对于第二阶Fréchet导数 $DF(x)$，其泰勒级数的一致收敛半径至少为 $\rho/\sqrt{2}$。
• 当 $n \geq 3$ 时，$D^nF(x)$ 的泰勒级数的一致收敛半径至少为 $\rho/\sqrt{e}$。
• 范数比 $\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|$ 满足 $\left(\|L\|_{(2)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{2}$，适用于实Banach空间。
• 当 $n \geq 2$ 时，比值 $\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|$ 满足 $\left(\|L\|_{(n)}/\|\widehat{L}\|\right)^{1/m} \leq \sqrt{n}$，适用于实Banach空间。
• 不等式 $\|L\|_{(n)} \leq \sqrt{n}\|\widehat{L}\|$ 是精确的，即当 $m$ 为偶数且 $k_1 = k_2 = m/2$ 时等号可趋近。