[论文解读] Polynomial Heisenberg algebras and Painlevé equations

David Bermúdez|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 10被引用 4

一句话总结

本论文通过证明将高阶多项式海森伯代数（PHA）映射到二阶和三阶代数的约化定理，建立了二阶和三阶多项式海森伯代数（PHA）与Painlevé方程PIV和PV之间的联系。论文推导了PIV和PV的合流超几何函数 1F1 形式的精确解，对解的层级结构进行了分类，并为通过约化定理与PIV关联的谐振子SUSY伙伴构造了相干态。

ABSTRACT

We study first the supersymmetric quantum mechanics (SUSY QM), specially the cases of the harmonic and radial oscillators. Then, we obtain a new Wronskian formula for the confluent SUSY transformation and apply the SUSY QM to the inverted oscillator. After that, we present the polynomial Heisenberg algebras (PHA). We study the general systems described by PHA: for zeroth- and first-order we obtain the harmonic and radial oscillators, respectively; for second- and third-order PHA, the potential is determined in terms of solutions to Painlevé IV and V equations ($P_{IV}$ and $P_{V}$), respectively. Later on, we review the six Painlevé equations and we study the cases of $P_{IV}$ and $P_V$. We prove a reduction theorem for $2k$th-order PHA to be reduced to second-order algebras. We also prove an analogous theorem for the $(2k+1)$th-order PHA to be reduced to third-order ones. Through these theorems we find solutions to $P_{IV}$ and $P_V$ given in terms of confluent hypergeometric functions. For some special cases, those can be classified in several solution hierarchies. In this way, we find real solutions with real parameters and complex solutions with real and complex parameters for both equations. Finally, we study the coherent states (CS) for the SUSY partners of the harmonic oscillator that are connected with $P_{IV}$, which we will call Painlevé IV coherent states. Since these systems have third-order ladder operators $l_k^\pm$, we seek first the CS as eigenstates of the annihilation operator $l_k^-$. We also define operators analogous to the displacement operator and we get CS departing from the extremal states in each subspace in which the Hilbert space is decomposed. We conclude our treatment applying a linearization process to the ladder operators in order to define a new displacement operator to obtain CS involving the entire Hilbert space.

研究动机与目标

• 探索多项式海森伯代数（PHA）与 Painlevé 方程之间的联系，特别是 PIV 和 PV。
• 证明约化定理，将 2k 阶和 (2k+1) 阶 PHA 分别映射到二阶和三阶代数。
• 以合流超几何函数 1F1 的形式推导 PIV 和 PV 的精确解。
• 将 PIV 和 PV 的特殊解分类为不同的解层级。
• 通过约化定理，为与 PIV 关联的谐振子 SUSY 伙伴构造相干态。

提出的方法

• 推导合流SUSY变换的新Wronskian公式，使SUSY量子力学中的精确解成为可能。
• 将超对称量子力学（SUSY QM）应用于倒置振子势，建立其与 PIV 的联系。
• 定义 n 阶多项式海森伯代数（PHA），并证明当 n=2 和 n=3 时，势能由 PIV 和 PV 的解决定。
• 证明约化定理：2k 阶 PHA 可约化为二阶代数，(2k+1) 阶 PHA 可约化为三阶代数。
• 利用约化定理，将 PIV 和 PV 的解表示为合流超几何函数 1F1 的形式。
• 通过寻找三阶升降算符的本征态，并引入线性化位移算符，为谐振子 SUSY 伙伴构造相干态。

实验结果

研究问题

• RQ1 二阶和三阶多项式海森伯代数如何分别与 Painlevé 方程 PIV 和 PV 相关联？
• RQ2 哪些约化定理使得高阶 PHA 可以映射到二阶和三阶代数？
• RQ3 PIV 和 PV 的解如何用合流超几何函数 1F1 表示？
• RQ4 PIV 和 PV 的特殊情况的解层级有哪些不同？
• RQ5 如何通过约化定理，为与 PIV 关联的谐振子 SUSY 伙伴构造相干态？

主要发现

• 推导出合流SUSY变换的新Wronskian公式，使SUSY量子力学中的精确解成为可能。
• 成功展示了SUSY QM在倒置振子势上的应用，建立了其与 PIV 的联系。
• 以合流超几何函数 1F1 的形式找到了 PIV 和 PV 的解，提供了精确的解析表达式。
• 对于特殊情况，PIV 和 PV 的解被分类为多个解层级，揭示了其结构模式。
• 通过三阶升降算符的本征态，并利用线性化位移算符，成功构造了谐振子 SUSY 伙伴的相干态，实现了希尔伯特空间的完整覆盖。
• 约化定理证明了 2k 阶 PHA 可约化为二阶代数，(2k+1) 阶 PHA 可约化为三阶代数，建立了与 Painlevé 方程之间的关键结构联系。