[论文解读] Polynomial ideals from a nonlinear viewpoint

Geraldo Botelho, Ewerton R. Torres|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2016

Advanced Banach Space Theory参考文献 53被引用 3

一句话总结

本文引入并系统研究了多项式双边理想——在与其他齐次多项式复合下封闭的齐次多项式类——扩展了仅要求对线性算子复合封闭的经典多项式理想理论。关键贡献在于证明了张量稳定算子理想可生成多项式双边理想，具体示例包括绝对求和与紧算子的对偶，且证明了s-张量稳定性蕴含所需的封闭性质。

ABSTRACT

Classes of homogeneous polynomials between Banach spaces have been studied in the last three decades from the perspective of the so-called ideal property: if a polynomial P belongs to a class Q, then the composition u o P o v of P with linear operators u and v belongs to Q as well. In an attempt to explore the nonlinearity of the subject in a more consistent way, and taking into account recent results in the field, in this paper we propose the study of classes of homogeneous polynomials that are stable under the composition with homogeneous polynomials. Some importante classes justify the study of the intermediate concept of classes of polynomials Q such that if P belongs to Q, u is a linear operator and Q is a homogeneous polynomial, then u o P o Q belongs to Q.

研究动机与目标

• 通过基于齐次多项式复合的更非线性框架，解决经典多项式理想理论中的线性偏差问题。
• 定义并研究多项式双边理想，其中类在与任意齐次多项式复合下封闭。
• 引入中间概念——多项式超理想，即在与一个线性多项式和一个齐次多项式复合下封闭的类。
• 建立多重线性超理想与多项式超理想/双边理想之间的联系。
• 通过张量稳定算子理想，系统构造新的和已知的类作为多项式双边理想。

提出的方法

• 将多项式双边理想定义为在与任意齐次多项式复合下封闭的齐次多项式类。
• 将多项式超理想引入为在与一个线性多项式和一个齐次多项式复合下封闭的类。
• 通过从多重线性类生成多项式类，建立多重线性超理想与多项式超理想之间的联系。
• 证明：若一个算子理想是张量稳定的，则其关联的多项式类是s-张量稳定的，从而蕴含与齐次多项式复合的封闭性。
• 利用对称化算子和包含映射，将投影对称张量积与完整投影张量积联系起来。
• 应用已知的算子理想张量稳定性结果（例如绝对求和、核型和积分算子的对偶）以生成新的多项式双边理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些齐次多项式类在与任意齐次多项式复合下封闭，它们与经典多项式理想有何不同？
• RQ2 多重线性超理想理论能否系统地推广到多项式双边理想设定中？
• RQ3 何种条件下算子理想可确保其关联的多项式类构成双边理想？
• RQ4 经典多项式理想（如弱紧或绝对求和多项式）在新的双边理想框架下行为如何？
• RQ5 每个s-张量稳定的算子理想是否必然张量稳定，这对多项式双边理想的构造有何影响？

主要发现

• 超核型多项式类是最小的多项式双边理想，同时也是最小的多项式超理想。
• 每个张量稳定算子理想通过复合构造 $\mathcal{I} \circ \mathcal{P}$ 生成一个巴拿ach多项式双边理想。
• 绝对求和 $p$-算子理想 $\Pi_p^{\text{dual}}$ 的对偶是张量稳定的，因此生成一个多项式双边理想。
• 可分算子理想 $\mathcal{S}$ 以及理想 $\overline{\mathcal{F}}^{\|\cdot\|}$、$\mathcal{N}$、$\mathcal{J}$、$\mathcal{L}_{\infty,q,\gamma}$、$\mathcal{L}_{1,q}$、$\mathcal{K}_{1,p}$、$\mathcal{J}_p^{\text{dual}}$ 和 $\mathcal{K}_{1,p}^{\text{sur}}$ 均为张量稳定，因此生成多项式双边理想。
• 本文证明了每个张量稳定算子理想都是s-张量稳定的，这蕴含 $\mathcal{I} \circ \mathcal{P}$ 是一个多项式双边理想，从而提供了一种构造此类类的一般方法。