[论文解读] Polynomial Interpolation and Identity Testing from High Powers over Finite Fields

Gábor Ivanyos, Marek Karpiński+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2015

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 30被引用 4

一句话总结

本论文提出了一类高效的经典与量子算法，用于在仅通过多项式高次幂 $e$ 的预言机访问条件下，对有限域上的首一多项式进行插值和恒等式测试。通过利用有效的零点定理、特征和估计以及 Grover 搜索，作者实现了次指数查询复杂度，当 $e \deg f > q$ 时，显著优于朴素方法。随机化与量子算法分别仅需 $O(\deg f \log q)$ 和 $O(e^{d/2})$ 次查询。

ABSTRACT

We consider the problem of recovering (that is, interpolating) and identity testing of a "hidden" monic polynomial $f$, given an oracle access to $f(x)^e$ for $x\\in{\\mathbb F_q}$ (extension fields access is not permitted). The naive interpolation algorithm needs $O(e\\, \\mathrm{deg}\\, f)$ queries and thus requires $e\\, \\mathrm{deg}\\, f<q$. We design algorithms that are asymptotically better in certain cases; requiring only $e^{o(1)}$ queries to the oracle. In the randomized (and quantum) setting, we give a substantially better interpolation algorithm, that requires only $O(\\mathrm{deg}\\, f \\log q)$ queries. Such results have been known before only for the special case of a linear $f$, called the hidden shifted power problem. We use techniques from algebra, such as effective versions of Hilbert's Nullstellensatz, and analytic number theory, such as results on the distribution of rational functions in subgroups and character sum estimates.

研究动机与目标

• 解决在仅能通过 $f(x)^e$ 预言机访问、且不使用域扩张时，对有限域上首一多项式进行插值与恒等式测试的挑战。
• 克服经典插值方法在 $e \deg f > q$ 时的局限性，此时标准方法因域元素不足而失效。
• 在高次幂预言机模型下，为多项式插值与恒等式测试开发高效确定性、随机化与量子算法。
• 将先前关于隐藏移位幂问题（线性 $f$）的结果推广至任意次数的首一多项式。
• 提供在 $\log q$ 与 $\deg f$ 上为多项式、在 $e$ 或 $\deg f$ 上为次指数的查询复杂度界。

提出的方法

• 利用 Hilbert 零点定理的有效版本，将 $f^e - g^e$ 的零点性与 $\mathbb{F}_q$ 上的代数结构联系起来。
• 应用特征和估计以及子群中理性函数分布的相关结果，以界定方程 $f(x)^e = g(x)^e$ 的解的数量。
• 利用 Shor 的量子算法实现阶查找与离散对数计算，以高效计算域元素的 $e$ 次根。
• 在 $E^d = \{0, \ldots, e-1\}^d$ 上使用 Grover 量子搜索，以找到 $f(x)^e$ 值对应的正确离散对数元组。
• 通过用经典采样替代 Grover 搜索，实现经典随机化算法，达到 $O(e^d)$ 的查询复杂度。
• 在广义黎曼猜想下，通过确定性根求解与基于素数的构造方法，实现 $e$ 次单位根的确定性构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $e \deg f > q$ 时，是否能以次指数查询复杂度实现多项式插值，从而违反标准插值界？
• RQ2 如何仅通过 $f(x)^e$ 与 $g(x)^e$ 的预言机访问，高效地完成两个未知首一多项式之间的恒等式测试？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_q$ 上，恢复 $f$ 从 $f(x)^e$ 所需的最少查询次数是多少？适用于确定性、随机化或量子算法。
• RQ4 分析数论与代数几何的技术在多大程度上可结合以解决有限域中的黑箱插值问题？
• RQ5 线性多项式（隐藏移位幂）的结果能否推广至更高次的一般首一多项式？

主要发现

• 论文提出了一种随机化算法，仅需 $O(\deg f \log q)$ 次查询，显著优于朴素的 $O(e \deg f)$ 上界。
• 开发出一种量子算法，其查询复杂度为 $O(e^{d/2})$，其中 $d = \deg f$，利用 Grover 搜索在离散对数空间中进行。
• 对于恒等式测试问题，该算法能以高概率区分 $f \sim_e g$ 与 $f \not\sim_e g$，仅需 $O(\deg f \log q)$ 次查询。
• 在广义黎曼猜想下，推导出一种确定性算法，其复杂度为 $e^{d + c_0(d)\delta^{1/(2d-1)}}(d\log p)^{O(1)}$，适用于 $e \leq p^\delta$。
• 经典随机化算法的查询复杂度为 $O(e^d (d\log q \log(1/\varepsilon))^{O(1)})$，在 $\log q$ 与 $d$ 上为多项式，但在 $d$ 上为指数级。
• 通过将短区间概念适配至有界次数的多项式，并使用函数域中零点定理的类比，结果可推广至高次扩张 $\mathbb{F}_{p^n}$。