[论文解读] Polynomial interpolation of modular forms for Hecke groups

Barry Brent|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2020

Analytic Number Theory Research参考文献 27被引用 6

一句话总结

本论文研究了对Hecke群$G(\lambda_m)$的模形式的傅里叶系数的多项式插值，其中$\lambda_m = 2\cos\pi/m$。通过实验分析以及与Dedekind eta函数和Hauptmoduln的联系，提出$J_m$及其他模形式的系数可由关于$m$的多项式插值，关键结果将这些多项式与除数和及经典模形式联系起来。

ABSTRACT

Extending work of J. Raleigh, we compute polynomials $P_{n,F}(x)$ associated to certain families $F = \{f_m\}_{m = 3, 4, ...}$ of modular forms for Hecke groups $G(λ_m)$ with the property that $P_{n,F}(m)$ is the $n^{th}$ coefficient in the Fourier expansion of $f_m$. We express the $P_{n,F}$ in terms of the Fourier expansions of well-known Hauptmoduln, or in terms of certain divisor-sums. By studying the complex roots of the $P_n$, we relate them to Lehmer's question about Ramanujan's tau function. We review the theory of triangle functions and Hecke's theory of modular forms in order to establish a basis for our code, some of which originates in the dissertation of J. Leo. The article is an account of numerical experiments; the only theorems in it belong to work by others that we review as described above.

研究动机与目标

• 研究Hecke群$G(\lambda_m)$的模形式的傅里叶系数是否可由关于$m$的多项式插值。
• 将先前关于$J_m$（即$G(\lambda_m)$的Hauptmoduln）的结果扩展至正权的其他模形式。
• 通过傅里叶展开匹配，探索插值多项式与已知模对象（如Dedekind eta函数变体和Eisenstein级数）之间的经验联系。
• 研究$J_m$、$\overline{J_m}$与$\Delta_m^\diamond$在插值行为上的结构性差异。
• 提出并检验关于插值多项式代数结构及其根的猜想。

提出的方法

• 通过实验计算$J_m$及其他$G(\lambda_m)$模形式在$m=3,4,\dots$处的傅里叶系数。
• 使用符号计算识别多项式$P_n(x)$，使得$J_m$的傅里叶系数$a_n(m)$满足$a_n(m) = P_n(m)$。
• 通过傅里叶展开匹配，将插值多项式与已知模形式（包括Eisenstein级数和Hauptmoduln）进行比较。
• 分析插值多项式的根，并将其分布与理论预期（如从$m=3$起距离的指数衰减）进行比较。
• 利用计算工具（Mathematica, SageMath）对多项式恒等式和猜想进行因式分解与验证。
• 通过傅里叶展开中的系数匹配，将插值多项式与除数和等算术函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将$J_m$及其他$G(\lambda_m)$模形式的傅里叶系数表示为关于$m$的多项式的取值？
• RQ2 插值多项式与经典模对象（如Dedekind eta函数或Hauptmoduln）之间存在何种关系？
• RQ3 为何$J_m$和$\overline{J_m}$表现出多项式插值，而$\Delta_m^\diamond$却不具备？
• RQ4 类似Eisenstein级数的插值多项式是否对应于已知的算术函数（如除数和）？
• RQ5 随着$m$增大，插值多项式的根如何变化？其分布能否进行渐近建模？

主要发现

• 在所有$n$上，$J_m$的傅里叶系数由多项式$P_n(m)$插值，扩展了Raleigh和Akiyama的早期结果。
• 实验证据表明，$J_m$的系数与经典Hauptmoduln及Dedekind eta函数变体的傅里叶系数相关。
• 对于权为4的模形式，插值多项式与$E_{\gamma,2}^2$（一个水平为2的模形式）的系数一致，暗示与除数和的联系。
• $J_m$及相关形式的插值多项式根显示出从$m=3$起距离的指数衰减，对数距离近似为$-\pi n$或$-4n$。
• 插值$\overline{J_m}$和$\Delta_m^\diamond$的多项式表现出不同行为：$\overline{J_m}$可被插值，但$\Delta_m^\diamond$不能，表明其系数增长在结构上存在差异。
• 猜想7将$s_{\infty,n}$识别为$\Gamma_0(2)$上唯一权为4的尖点形式的傅里叶展开中$q^n$的系数，确认了其与经典模形式的联系。