[论文解读] Polynomial Invariants and SAGBI Bases for Multi-screws

Deborah Crook, Peter Donelan|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文利用SAGBI基理论为多个螺旋构建多项式不变量，提出了一套计算框架以对串联机器人操作臂进行分类。研究推导出螺旋对的显式生成集，并对螺旋三元组提出生成集猜想，将这些不变量与Denavit–Hartenberg参数关联，为传统运动学参数化提供了一种数学上严谨的替代方法。

ABSTRACT

Polynomial invariants for robot manipulators and their joints arise from the adjoint action of the Euclidean group on its Lie algebra, the space of infinitesimal twists or screws. The aim of this paper is to determine basic sets of generating polynomials for multiple screws. Techniques from the theory of SAGBI bases are introduced. As a result, a complete description is provided of the polynomial invariants for screw pairs and some results for screw triples are obtained. The invariants are shown to be related to Denavit-Hartenberg parameters.

研究动机与目标

• 开发一种系统化的计算方法，用于在欧几里得群的伴随作用下识别多个螺旋的多项式不变量。
• 通过代数表达运动学不变量，为Denavit–Hartenberg参数提供一种数学上严谨的替代方法。
• 通过利用SAGBI基研究多项式环的子代数，将不变量理论拓展至非半单群（如欧几里得群）。
• 建立螺旋不变量与经典几何不变量（如螺距、旋转角、公垂线）之间的联系。
• 基于计算证据与对称性分析，对三螺旋不变量环的完整生成集提出猜想。

提出的方法

• 应用SAGBI（子代数Gröbner）基理论，计算欧几里得群在其李代数上的伴随作用下多项式不变量环的生成集。
• 使用Plücker坐标 $(oldsymbol{\rho}, oldsymbol{v})$ 表示螺旋，并将不变量定义为这些坐标上的齐次多项式。
• 将Klein型量 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{\rho}_j$ 和Killing型量 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{\rho}_i$ 作为螺旋对的基本不变量。
• 推导出如 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_i$、$oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_j + oldsymbol{\rho}_j oldsymbol{v}_i$ 及标量三重积 $[\boldsymbol{\rho}_1, \boldsymbol{\rho}_2, \boldsymbol{\rho}_3]$ 等用于螺旋三元组的不变量。
• 将推导出的不变量与Denavit–Hartenberg参数进行比较，表明 $ ext{cos}\theta$ 和 $d\text{sin}\theta$ 是多项式不变量的有理函数。
• 通过SAGBI基的计算枚举识别候选生成元，并对三螺旋不变量的最小生成集提出猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 在欧几里得群作用下，两个螺旋的多项式不变量环的完整且最小的生成集是什么？
• RQ2 能否通过计算代数几何方法系统地识别三螺旋不变量的生成集？
• RQ3 经典Denavit–Hartenberg参数与螺旋系统的多项式不变量之间有何关系？
• RQ4 SAGBI基在非半单群作用下的不变量计算与验证中，其适用程度如何？
• RQ5 对三螺旋提出的不变量是否代数独立，且是否能生成完整的不变量环？

主要发现

• 通过SAGBI基技术，明确确定了螺旋对的多项式不变量的完整生成集，其不变量为 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{\rho}_j$、$oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_i$ 以及 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_j + oldsymbol{\rho}_j oldsymbol{v}_i$（$i < j$）。
• 对于螺旋三元组，本文猜想不变量环由两两点积 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{\rho}_j$、自螺距 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_i$、对称混合积 $oldsymbol{\rho}_i oldsymbol{v}_j + oldsymbol{\rho}_j oldsymbol{v}_i$、标量三重积 $[\boldsymbol{\rho}_1, \boldsymbol{\rho}_2, \boldsymbol{\rho}_3]$ 以及和 $[{f v}_1,\boldsymbol{\rho}_2,\boldsymbol{\rho}_3] + [\boldsymbol{\rho}_1,{ bf v}_2,\boldsymbol{\rho}_3] + [\boldsymbol{\rho}_1,\boldsymbol{\rho}_2,{ bf v}_3]$ 生成。
• 不变量 $z_{123} + z_{231} + z_{312}$ 被识别为旋转不变量之和，对应于螺旋三元组系统中类似交换子表达式的迹。
• Denavit–Hartenberg参数中的转角 $ heta$ 和位移 $d$ 被证明是基本多项式不变量的有理函数：$ ext{cos}\theta = \frac{\boldsymbol{\rho}_1 \boldsymbol{\rho}_2}{\norm{\boldsymbol{\rho}_1}\norm{\boldsymbol{\rho}_2}}$ 和 $d\text{sin}\theta = \frac{\boldsymbol{\rho}_1 \boldsymbol{v}_2 + \boldsymbol{\rho}_2 \boldsymbol{v}_1}{\norm{\boldsymbol{\rho}_1}\norm{\boldsymbol{\rho}_2}}$。
• 三螺旋系统的偏移参数 $b$ 被证明是 $SE(3)$ 不变量，尽管尚未用所提出的生成元表达。
• 本文证明SAGBI基是探索非半单群作用下不变量的可行计算工具，尽管此类群缺乏一般有限生成定理。