[论文解读] Polynomial Optimization with Real Varieties

Jiawang Nie|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文建立了拉塞雷层次法在实代数簇上的有限收敛性，证明当实代数簇 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 有限时，即使复代数簇 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ 无限，有限收敛性依然成立。此外，本文表明有限收敛性与实代数簇的多项式表示无关，并在可行集有限时将结果推广至基于预序的细化层次法。

ABSTRACT

We consider the optimization problem of minimizing a polynomial f(x) subject to polynomial constraints h(x)=0, g(x)>=0. Lasserre's hierarchy is a sequence of sum of squares relaxations for finding the global minimum. Let K be the feasible set. We prove the following results: i) If the real variety V_R(h) is finite, then Lasserre's hierarchy has finite convergence, no matter the complex variety V_C(h) is finite or not. This solves an open question in Laurent's survey. ii) If K and V_R(h) have the same vanishing ideal, then the finite convergence of Lasserre's hierarchy is independent of the choice of defining polynomials for the real variety V_R(h). iii) When K is finite, a refined version of Lasserre's hierarchy (using the preordering of g) has finite convergence.

研究动机与目标

• 解决拉塞雷层次法在实代数簇 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 有限但复代数簇 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ 无限时是否具有有限收敛性的开放问题。
• 证明拉塞雷层次法的有限收敛性与实代数簇 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 的定义多项式的选择无关，前提是 $ K $ 和 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 具有相同的消去理想。
• 提出并分析一种基于约束 $ g $ 的预序的细化层次法，证明当可行集 $ K $ 有限时，该方法具有有限收敛性。
• 为多项式优化中平方和松弛法的有限收敛性提供理论基础，特别是在实解集有限的情况下。

提出的方法

• 使用拉塞雷的平方和（SOS）松弛层次法，基于截断理想 $ \langle h \rangle_{2k} $ 和二次模 $ Q_k(g) $ 定义，其对偶半定规划涉及矩矩阵和局部化矩阵。
• 应用正定定理和扁平截断准则分析有限收敛性，特别利用了当 $ K $ 有限时存在插值多项式的事实。
• 引入一种基于预序 $ Pr_k(g) $ 的细化 SOS 松弛法，该预序包含所有约束 $ g_j $ 的乘积，以加强松弛并确保在 $ K $ 有限时实现有限收敛。
• 通过引理 2.1 的扰动方法，引入参数 $ \epsilon $，构造分解 $ f - (f_{\min} - \epsilon) = \sigma_\epsilon + \phi_\epsilon $，其中 $ \sigma_\epsilon \in Pr_N(g) $ 且 $ \phi_\epsilon \in \langle h \rangle_{2N} $，以证明有限收敛性。
• 依赖阿基米德条件和普蒂纳正定定理保证渐近收敛性，并利用实代数簇的结构推导出有限收敛结果。
• 使用在有限集 $ K $ 上除一点外均消失的插值多项式 $ \varphi_i $，并构造一个 SOS 多项式 $ a $，将 $ f - f_{\min} $ 表示为在 $ K $ 上的平方和，从而实现有限收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 有限但 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ 无限时，拉塞雷层次法是否具有有限收敛性？
• RQ2 在 $ K $ 和 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 具有相同消去理想的前提下，拉塞雷层次法的有限收敛性是否与 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 的定义多项式的选择无关？
• RQ3 当可行集 $ K $ 有限时，能否通过使用约束 $ g $ 的预序构造更强的 SOS 松弛法，实现有限收敛？
• RQ4 在什么条件下，预序层次法的序列 $ \{f_k^{\text{pre}}\} $ 能够有限收敛到全局最小值？
• RQ5 预序层次法对偶问题的有限收敛性能否推广到其原始松弛序列？

主要发现

• 当 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 有限时，即使 $ V_{\mathbb{C}}(h) $ 无限，拉塞雷层次法也具有有限收敛性，从而解决了劳伦特综述中的一个开放问题。
• 在 $ K $ 和 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 具有相同消去理想的前提下，拉塞雷层次法的有限收敛性与 $ V_{\mathbb{R}}(h) $ 的定义多项式的选择无关。
• 当可行集 $ K $ 有限时，基于预序的层次法 $ \{f_k^{\text{pre}}\} $ 会有限收敛到 $ f_{\min} $，即使标准层次法 $ \{f_k\} $ 可能不会。
• 对于有限 $ K $，存在整数 $ N $，使得对所有 $ k \geq N $，有 $ f_k^{\text{pre}} = f_{\min} $，该结论通过扰动论证及预序与理想分量的分解得到证明。
• 证明构造了分解 $ f - (f_{\min} - \epsilon) = \sigma_\epsilon + \phi_\epsilon $，其中 $ \sigma_\epsilon \in Pr_N(g) $ 且 $ \phi_\epsilon \in \langle h \rangle_{2N} $，确保在 $ k \geq N $ 时实现有限收敛。
• 通过一个例子 $ K = \{(0,0)\} $ 表明，对所有 $ k \geq 6 $，有 $ f_k^{\text{pre}} = 0 $，从而在实践中验证了有限收敛性。