[论文解读] Polynomial phase estimation by phase unwrapping

Robby G. McKilliam, Barry G. Quinn+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2012

Synthetic Aperture Radar (SAR) Applications and Techniques参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对多项式相位信号的最小二乘解缠（LSU）估计器，通过最小二乘方式对噪声相位数据进行解缠，以估计多项式系数。关键贡献在于证明了LSU估计器具有强一致性与渐近正态性，且在一般噪声假设下，第k个系数的估计收敛速率为o(N^{-k})。

ABSTRACT

Estimating the coefficients of a noisy polynomial phase signal is important in fields including radar, biology and radio communications. One approach attempts to perform polynomial regression on the phase of the signal. This is complicated by the fact that the phase is wrapped modulo 2πand must be unwrapped before regression can be performed. In this paper we consider an estimator that performs phase unwrapping in a least squares manner. We describe the asymptotic properties of this estimator, showing that it is strongly consistent and asymptotically normally distributed.

研究动机与目标

• 开发一种在噪声信号中对多项式相位系数具有统计鲁棒性的估计器，尤其适用于相位以2π取模的场景。
• 解决在多项式相位信号估计中因相位折叠（wrapped）而带来的挑战，该问题使得对折叠相位数据的直接回归变得复杂。
• 建立最小二乘解缠（LSU）估计器的渐近统计性质，包括一致性与正态性。
• 通过允许更广泛的噪声分布类，推广先前结果，并证明第k个系数的收敛速率为o(N^{-k})。
• 为在雷达、声纳和医学成像等应用中使用相位解缠提供理论基础，支持多项式相位估计。

提出的方法

• LSU估计器通过在折叠相位观测值上最小化一个最小二乘目标函数来实现相位解缠。
• 该方法通过最近点格点投影将折叠相位转换为未折叠形式，从而实现对未折叠相位的回归。
• 估计器被定义为一个不可微目标函数的最小化器，需要借助经验过程理论和超平面排列分析的高级工具。
• 理论分析利用了集合{1, ..., N}中等差数列的结果，以控制收敛证明中的误差项。
• 通过在有界区域内使用有限点集的覆盖论证，结合超平面排列理论，建立了强一致性。
• 尽管目标函数不可微，仍利用经验过程技术及目标函数在真实参数附近的性质，证明了渐近正态性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小二乘解缠方法能否产生对多项式相位系数的一致且渐近正态的估计器？
• RQ2 在LSU估计器下，第k个多项式相位系数估计的收敛速率是多少？
• RQ3 当噪声分布超出高斯假设时，该估计器的表现如何？
• RQ4 LSU估计器在强一致性和渐近正态性方面具有哪些理论保证？
• RQ5 能否通过经验过程与几何技术克服目标函数的不可微性，从而推导出其渐近性质？

主要发现

• LSU估计器具有强一致性，即随着样本数N增加，其几乎必然收敛于真实的多项式相位系数。
• 估计器渐近服从正态分布，这支持对系数构造置信区间与假设检验。
• 第k个系数估计以速率o(N^{-k})收敛至真实值，该结果在相位数据存在非线性与折叠特性的情况下依然成立。
• 渐近正态性的证明依赖于经验过程理论与超平面排列几何的高级工具，这是由于目标函数的不可微性。
• 收敛速率o(N^{-k})与多项式回归一致，但在折叠相位设定下其有效性非平凡，需依赖关于等差数列的新型组合论证。
• 蒙特卡洛模拟验证了LSU估计器的优良统计性能，与理论渐近预测一致。