[论文解读] Polynomial pseudomonads and dependent type theory

Steve Awodey, Clive Newstead|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过证明支持单位类型和依赖和类型自然模型对应于多项式伪单子，而同时支持依赖积类型的自然模型则对应于此类伪单子上的多项式伪代数，为依赖类型理论建立了范畴基础。其核心贡献是通过局部笛卡尔闭范畴中的高维范畴结构，对类型论构造子进行了精确的代数刻画。

ABSTRACT

We assemble polynomials in a locally cartesian closed category into a tricategory, allowing us to define the notion of a polynomial pseudomonad and polynomial pseudoalgebra. Working in the context of natural models of type theory, we prove that dependent type theories admitting a unit type and dependent sum types give rise to polynomial pseudomonads, and that those admitting dependent product types give rise to polynomial pseudoalgebras.

研究动机与目标

• 通过高维范畴理论形式化依赖类型理论的代数结构。
• 弥合类型论构造子（单位、依赖和、依赖积）与范畴结构（伪单子、伪代数）之间的鸿沟。
• 为理解类型论运算的相干性公理提供统一的范畴框架。
• 证明在适当的类型论假设下，类型理论的自然模型自然地导出多项式伪单子和伪代数。

提出的方法

• 在局部笛卡尔闭范畴中构造一个多项式的三范畴，从而定义多项式伪单子和伪代数。
• 利用范畴的内语言，将多项式函子描述为类型族上的依赖和与积。
• 通过拉回和伴随函子定义多项式复合，利用范畴分层中的伴随三元组 $\Sigma_f \dashv \Delta_f \dashv \Pi_f$。
• 引入多项式的笛卡尔态射以建模类型论结构，通过调整编码相干同构。
• 将该理论应用于类型理论的自然模型，表明类型构造子对应于特定的多项式态射。
• 证明此类态射的存在性（带唯一调整）等价于相应类型论类型的出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用高维范畴结构对依赖类型理论进行代数刻画？
• RQ2 在自然模型中，单位类型和依赖和类型的存在对应于何种范畴结构？
• RQ3 在高范畴设定下，依赖积类型如何与代数律关联？
• RQ4 能否通过伪单子或伪代数结构中的调整来捕捉类型论构造子的相干条件？
• RQ5 类型同构与多项式伪单子及伪代数方程之间的确切对应关系是什么？

主要发现

• 当且仅当其类型族可被赋予多项式伪单子结构时，自然模型支持单位类型和依赖和类型。
• 当且仅当其类型族可被赋予与相关多项式伪单子上的多项式伪代数结构时，自然模型额外支持依赖积类型。
• 伪单子和伪代数结构中的相干同构恰好对应于依赖类型论中的标准类型同构，如依赖和与积的结合律与单位律。
• 伪单子和伪代数结构中的调整由多项式的笛卡尔态射唯一确定，从而在无需额外数据的情况下保证相干性。
• 该构造为依赖类型理论提供了完整的范畴语义，其中类型形成器被解释为由多项式函子控制的代数运算。
• 结果建立了单子代数律与类型论同构之间的精确对偶，揭示了类型论与范畴论之间深层次的结构联系。