[论文解读] Polynomial realizations of some trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|May 2, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 14被引用 48

一句话总结

本文通过无穷多个变量的非交换多项式，构建了组合霍普夫代数的多项式实现——具体而言，是自由 dendriform 三重代数（TD）和自由立方三重代数（TC）。借助 WQSym 及其对偶代数，作者推导出显式的基、内积与三重代数结构，表明 TC 作为通过分段组合嵌入 TD 的子代数存在，其典型词上的格结构使得能够构造乘法基与内积规则。

ABSTRACT

We realize several combinatorial Hopf algebras based on set compositions, plane trees and segmented compositions in terms of noncommutative polynomials in infinitely many variables. For each of them, we describe a trialgebra structure, an internal product, and several bases.

研究动机与目标

• 基于集合组合、平面树与分段组合，构造组合霍普夫代数的显式多项式实现。
• 在霍普夫代数 WQSym 内建立自由 dendriform 三重代数（TD）与自由立方三重代数（TC）的自然嵌入。
• 利用非交换对称函数描述这些代数的三重代数结构、内积与多重基。
• 证明 WQSym 的对偶的齐次分量同构于索勒曼-蒂茨代数，从而在 TC 上诱导出内积。
• 通过避免特定模式的打包词表征典型与第二典型分段词，构成 TC 的乘法基。

提出的方法

• 作者使用霍普夫代数 WQSym（非交换 quasi-对称函数的代数），其作为 Hivert 的 quasi-对称化作用下的不变量被实现。
• 他们将分段组合定义为由 | 或 , 分隔的整数序列，并将其与词中相邻字母之间的比较符号相关联。
• 定义基 M_I 为所有满足 S(T) = I 的树 T 的 M_T 之和，其中 S(T) 是 T 的标准词的符号序列。
• 子代数 TC 中的乘积由 M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''} 给出，其中 ▹ 表示将 I' 的末段与 I'' 的首段粘合。
• TC* 上的内积由 WQSym* 导出，满足 S_I' * S_I'' = S_I，其中 I 由 I' 与 I'' 的典型词的双词应用 S 运算得到。
• 通过典型与第二典型词定义分段组合上的格结构，其特征为避免特定置换模式（典型词：121, 132, 212, 213；第二典型词：121, 231, 212, 312）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非交换多项式，将自由 dendriform 三重代数与自由立方三重代数显式实现为 WQSym 的子代数？
• RQ2 立方三重代数 TC* 的内积结构是怎样的？其如何由 WQSym* 导出？
• RQ3 典型与第二典型分段词如何构成代数 TC 的乘法基？
• RQ4 分段组合集合背后的格结构是什么？其与伪排列多面体有何关联？
• RQ5 哪些置换模式表征了分段组合的典型与第二典型词？

主要发现

• TD 的子代数 TC 同构于一个生成元的自由立方三重代数，其乘积规则为 M_I' M_I'' = M_{I'▹I''} + M_{I',I''} + M_{I'|I''}。
• 长度为 n 的典型分段词恰好是避免模式 121, 132, 212 与 213 的打包词。
• 第二典型分段词是避免 121, 231, 212 与 312 的打包词。
• 典型分段词的集合构成 TC 的乘法基，其结构常数等于将一个分段组合表示为乘积的方式数。
• TC* 上的内积由 WQSym* 导出，满足 S_I' * S_I'' = S_I，其中 I 是由 I' 与 I'' 的典型词的双词应用 S 运算得到的分段组合。
• 将伪排列多面体限制到典型分段词上形成一个格，且在 S-等价类上定义的两种序关系一致。