[论文解读] POLYNOMIAL REPRESENTATIONS OF GENERAL LINEAR GROUPS AND CATEGORIFICATIONS OF FOCK SPACE

Jiuzu Hong, Oded Yacobi|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文在一般线性群的多项式表示的极限范畴 M 上构建了一个 g-范畴化，该范畴化实现了量子群 g（根据特征为 ^slp 或 sl1）的 Fock 空间表示。关键结果是在 M 中的单对象集合上实现了 Misra-Miwa 晶体，为 Fock 空间组合学提供了一个范畴模型。

ABSTRACT

We study a limit category M constructed from the polynomial represen- tations of all general linear groups. We construct a g-categorification on M in the sense of Chuang and Rouquier, which categorifies the Fock space representation of g, (here g is either ^ slp or sl1 depending on the characteristic of the ground field). As an application, we construct the Misra-Miwa crystal of Fock space from the set of simple objects of M.

研究动机与目标

• 从所有一般线性群的多项式表示中定义一个极限范畴 M。
• 在 M 上构建一个 g-范畴化，以范畴化 Fock 空间表示的量子群 g。
• 在 M 的单对象集合上实现 Misra-Miwa 晶体结构。
• 通过 GL(n) 的表示理论，为 Fock 空间组合学提供一个范畴框架。

提出的方法

• 将极限范畴 M 定义为所有 n 的 GL(n) 多项式表示范畴的直极限。
• 通过量子群 g 的范畴作用，为 M 赋予 g-范畴化结构。
• 利用多项式表示的结构，定义降低算子和提升算子的范畴类比。
• 证明 M 的格罗滕迪克群实现了 g 的 Fock 空间表示。
• 证明 M 中的单对象集合通过范畴化作用携带 Misra-Miwa 晶体结构。
• 利用特征依赖的行为（p 或无穷）来区分范畴化中的 ^slp 和 sl1。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一般线性群的多项式表示，范畴化地实现量子群 g 的 Fock 空间表示？
• RQ2 多项式表示的极限范畴 M 上的何种结构导致了 g-范畴化？
• RQ3 Fock 空间上的 Misra-Miwa 晶体如何从范畴 M 中涌现？
• RQ4 基域的特征在区分范畴化中的 ^slp 和 sl1 时起什么作用？
• RQ5 Fock 空间的组合学能否从 M 的单对象中重构？

主要发现

• 极限范畴 M 允许一个 g-范畴化，该范畴化实现了 g 的 Fock 空间表示。
• M 的格罗滕迪克群将 Fock 空间实现为一个 g-模。
• M 中的单对象集合携带 Misra-Miwa 晶体结构，为晶图提供了一个范畴模型。
• 该范畴化在正特征下对 g = ^slp 成立，在特征零下对 g = sl1 成立。
• 该构造通过范畴化，在 GL(n) 的表示理论与 Fock 空间组合学之间建立了直接联系。
• 该结果通过范畴化作用，为 Fock 空间组合学提供了新的几何与代数实现。