[论文解读] Polynomial scaling of QAOA for ground-state preparation of the fully-connected p-spin ferromagnet

Matteo M. Wauters, Glen Bigan Mbeng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 9

一句话总结

本文证明，量子近似优化算法（QAOA）可使用多项式资源制备全连接p自旋铁磁体的基态，克服了当p ≥ 3时阻碍量子退火的指数级小能隙问题。当QAOA参数数P超过临界阈值P* ∝ N时，参数空间简化，实现与系统规模呈线性关系的参数缩放和多项式资源消耗，从而获得完美的基态保真度。

ABSTRACT

We show that the quantum approximate optimization algorithm (QAOA) can construct with polynomially scaling resources the ground state of the fully-connected p-spin Ising ferromagnet, a problem that notoriously poses severe difficulties to a Quantum Annealing (QA) approach, due to the exponentially small gaps encountered at first-order phase transition for ${\ m p} \\ge 3$. For a target ground state at arbitrary transverse field, we find that an appropriate QAOA parameter initialization is necessary to achieve a good performance of the algorithm when the number of variational parameters $2{\ m P}$ is much smaller than the system size ${\ m N}$, because of the large number of sub-optimal local minima. Instead, when ${\ m P}$ exceeds a critical value ${\ m P}^*_{\ m N} \\propto {\ m N}$, the structure of the parameter space simplifies, as all minima become degenerate. This allows to achieve the ground state with perfect fidelity with a number of parameters scaling extensively with ${\ m N}$, and with resources scaling polynomially with ${\ m N}$.

研究动机与目标

• 解决全连接p自旋铁磁体基态制备的挑战，该模型在p ≥ 3时因一阶相变导致的指数级小能隙而使量子退火失效。
• 研究在已知其绝热演化存在困难的情况下，QAOA是否能高效制备该模型的基态。
• 分析QAOA参数空间的结构，并确定实现高保真基态制备的条件。
• 确定在P ≪ N和P ≳ N的区域中，成功实现基态制备所需资源和参数的缩放关系。
• 确立在变分参数数量亚线性于系统尺寸时，正确参数初始化对实现良好性能的必要性。

提出的方法

• 采用QAOA框架，以所有自旋沿x方向对齐的产物态作为初始态，交替应用由横向场（Hx）和p自旋哈密顿量（Hz）生成的酉操作。
• 使用变分参数γ和β参数化QAOA演化，目标是通过经典优化最小化能量期望值。
• 分析QAOA能量景观的对称性，包括在(γ, β) → (−γ, −β)、β → β + π，以及γ → γ + π或γ + π/2^p−1（取决于N和p）下的不变性。
• 识别QAOA层数P的临界阈值，其中P* ∝ N标志着参数空间结构的转变。
• 利用P > P*时能量景观的简化特性，此时所有局部极小值变得简并，从而实现完美的基态保真度。
• 结合解析与数值方法研究能量景观和保真度缩放，特别关注在P ≪ N时初始参数选择的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 QAOA能否高效制备全连接p自旋铁磁体的基态，该系统因指数级小能隙而使量子退火失效？
• RQ2 当变分参数数P远小于系统尺寸N时，参数初始化在QAOA性能中起什么作用？
• RQ3 随着P的增加，QAOA参数空间结构如何变化，特别是在P超过临界值P* ∝ N时？
• RQ4 在何种条件下QAOA能量景观会简化，导致简并极小值并实现完美的基态保真度？
• RQ5 QAOA实现该模型中高保真基态制备所需的资源（量子线路和经典优化步数）如何缩放？

主要发现

• 即使在p ≥ 3时，QAOA也能使用多项式缩放的资源制备全连接p自旋铁磁体的基态，而此时量子退火因指数级小能隙而失效。
• 当P ≪ N时，由于参数空间中存在大量次优局部极小值，QAOA性能对初始化高度敏感。
• 当P > P* ∝ N时，参数空间结构简化，使得所有局部极小值变得简并，从而实现完美的基态保真度。
• 在P > P*时，变分参数数随系统尺寸N线性缩放，总资源随N多项式缩放。
• 能量景观表现出对称性，包括在(γ, β) → (−γ, −β)、β → β + π（当p为奇数时），以及γ → γ + π或γ + π/2^p−1（取决于N和p的奇偶性）下的不变性。
• 临界阈值P*与N呈线性缩放，标志着从复杂崎岖景观向简化简并景观的转变，后者支持精确基态制备。