[论文解读] Polynomial Sequences of Binomial Type and Path Integrals

Vladimir V. Kisil|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 1998

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过将二项式型多项式序列表示为由离散时间与角动量变量构成的相空间中的路径积分，建立了枚举组合学与量子场论之间的新联系。利用从多项式在零点处的导数导出的哈密顿量，该文提出了该序列的薛定谔型方程，从而将怀特尼记法与量子力学联系起来，并为并行量子计算提供了一个框架。

ABSTRACT

Polynomial sequences $p_n(x)$ of binomial type are a principal tool in the umbral calculus of enumerative combinatorics. We express $p_n(x)$ as a \emph{path integral} in the ``phase space'' $\Space{N}{} imes {[-π,π]}$. The Hamiltonian is $h(ϕ)=\sum_{n=0}^\infty p_n'(0)/n! e^{inϕ}$ and it produces a Schrödinger type equation for $p_n(x)$. This establishes a bridge between enumerative combinatorics and quantum field theory. It also provides an algorithm for parallel quantum computations. Keywords: Feynman path integral, umbral calculus, polynomial sequence of binomial type, token, Schrödinger equation, propagator, wave function, cumulants, quantum computation.

研究动机与目标

• 通过二项式型多项式序列的新型表示，弥合枚举组合学与量子场论之间的鸿沟。
• 通过路径积分，将二项式型多项式序列表述为薛定谔型方程的解。
• 利用组合结构开发用于并行量子计算的计算框架。
• 通过将怀特尼记法嵌入量子力学相空间形式化，推广怀特尼记法。
• 为以量子传播子形式解释矩和生成函数提供数学基础。

提出的方法

• 将二项式型多项式序列表示为相空间 $\mathbb{N} \times [-\pi, \pi]$ 上的路径积分。
• 利用多项式在零点处的导数定义哈密顿量 $h(\phi) = \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n'(0)}{n!} e^{in\phi}$。
• 利用该哈密顿量推导出序列 $p_n(x)$ 的薛定谔型方程。
• 在路径积分形式化中构造传播子与波函数，以生成该序列。
• 利用哈密顿量的傅里叶表示，将组合生成函数与量子振幅联系起来。
• 将该形式化应用于矩和基于令牌的模型，以模拟量子计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 二项式型多项式序列能否在量子力学相空间中表示为路径积分？
• RQ2 如何通过哈密顿动力学将怀特尼记法嵌入量子场论框架？
• RQ3 生成函数的导数在定义量子哈密顿量中起什么作用？
• RQ4 该形式化能否支持基于组合结构的并行量子计算模型？
• RQ5 在此路径积分形式化中，矩和生成函数如何从传播子中自然涌现？

主要发现

• 证明了二项式型多项式序列满足由相空间路径积分导出的薛定谔型方程。
• 哈密顿量显式构造为 $\phi$ 的傅里叶级数，其系数由导数 $p_n'(0)/n!$ 给出。
• 路径积分形式化为基于组合序列的量子计算提供了一种新型算法框架。
• 该模型中的波函数对应于该序列的生成函数，其时间演化由哈密顿量控制。
• 该形式化在路径积分框架中自然地将矩表示为量子期望值。
• 该方法在传播子和时间演化背景下，建立了怀特尼记法与量子场论之间的直接对应关系。