[论文解读] Polynomial Simulations of Decohered Quantum Computers

Dorit Aharonov, Michael Ben-Or|ArXiv.org|Nov 17, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文利用具有单量子比特退相干的密度矩阵模型，研究了退相干量子计算机的计算能力。结果表明，对于任意非零退相干率，顺序和对数级并行性的量子计算均可在经典概率图灵机上高效模拟；但对于并行度更高的量子电路，仅当退相干率超过临界阈值（η₁ ≈ 0.64）时才能实现高效模拟，且在聚类大小增长过程中观察到明显的相变现象。

ABSTRACT

We define formally decohered quantum computers (using density matrices), and present a simulation of them by a probabalistic classical Turing Machine. We study the slowdown of the simulation for two cases: (1) sequential quantum computers, or quantum Turing machines(QTM), and (2) parallel quantum computers, or quantum circuits. This paper shows that the computational power of decohered quantum computers depends strongly on the amount of parallelism in the computation. The expected slowdown of the simulation of a QTM is polynomial in time and space of the quantum computation, for any non zero decoherence rate. This means that a QTM subjected to any amount of noise is worthless. For decohered quantum circuits, the situation is more subtle and depends on the decoherence rate, eta. We find that our simulation is efficient for circuits with decoherence rate higher than some constant, but exponential for general circuits with decoherence rate lower than some other constant. Using computer experiments, we show that the transition from exponential cost to polynomial cost happens in a short range of decoherence rates, and exhibit the phase transitions in various quantum circuits.

研究动机与目标

• 理解退相干在真实物理环境中对量子计算机计算能力的影响。
• 使用密度矩阵和具有固定每时间步退相干率的时变故障模型来建模退相干。
• 确定退相干量子计算在何种条件下可被经典概率图灵机高效模拟。
• 识别区分高效模拟与指数级代价的临界退相干率阈值。
• 研究并行度和门扇入在决定对退相干的鲁棒性中的作用。

提出的方法

• 通过具有时序调度和退相干率 η 的量子介质建模退相干，其中每个量子比特在每时间步独立以概率 η 发生坍缩。
• 通过追踪量子比特坍缩来模拟故障路径下密度矩阵的演化，坍缩可阻止纠缠并允许张量分解。
• 使用概率图灵机按正确权重采样故障路径，并模拟由此产生的混合态演化。
• 应用聚类分析来建模纠缠传播：当门连接量子比特时聚类增长，但坍缩事件会使其碎片化。
• 通过计算机实验观察不同 η 下聚类大小的相变，特别是在随机电路和一维最近邻电路中。
• 证明当 η < 0.5 时，随机电路表现出线性规模的聚类，意味着指数级模拟代价；而当 η > 0.64 时，聚类保持对数规模，从而实现多项式模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有顺序或对数级并行性的退相干量子计算机，是否可在任意非零退相干率下被经典计算机高效模拟？
• RQ2 在何种退相干率 η 以上，量子电路可被多项式时间模拟？该阈值如何依赖于电路结构？
• RQ3 在随机量子电路中，不同退相干率下纠缠聚类的大小如何演化？
• RQ4 与单量子比特门序列相比，多量子比特门或高扇入门是否能提升对退相干的鲁棒性？
• RQ5 是否存在特定退相干阈值处的计算复杂度相变？该相变是否可在模拟电路中被实验观测到？

主要发现

• 对于顺序量子计算机和具有 O(log n) 并行度的计算机，任意非零退相干率均可导致在经典概率图灵机上实现多项式时间模拟。
• 在随机量子电路中，当退相干率 η₀ ≈ 0.64 达到临界值时，模拟代价从指数级转变为多项式级，此时在该阈值以下会涌现出与 n 线性相关的巨量聚类。
• 当退相干率 η < 0.5 时，由于形成无法高效分解的大规模纠缠聚类，随机电路表现出指数级模拟代价。
• 在一维最近邻电路中，相变发生在 η ≈ 0.5 处，表明空间约束会影响临界退相干率阈值。
• 纠缠聚类的增长遵循每时间步乘以因子 (2−α)η 的规律，当该因子大于 1 时出现指数增长，导致低 η 条件下的大规模纠缠。
• 结果表明，退相干鲁棒性中的相变现象具有鲁棒性，暗示低退相干率的量子计算机可能无法被经典方法高效模拟。