[论文解读] Polynomial Threshold Functions: Structure, Approximation and Pseudorandomness

Ido Ben‐Eliezer, Shachar Lovett+1 more|ArXiv.org|Nov 18, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文建立了低次多项式阈值函数（PTFs）在逼近和伪随机性方面的基本极限。证明了依赖于少量线性函数的PTFs会被k-次独立分布所欺骗，并表明具有许多影响变量的函数无法被低次PTFs良好逼近，通过逼近理论和超展开性工具，为MODm和F2-多项式等函数提供了紧致界。

ABSTRACT

We study the computational power of polynomial threshold functions, that is, threshold functions of real polynomials over the boolean cube. We provide two new results bounding the computational power of this model. Our first result shows that low-degree polynomial threshold functions cannot approximate any function with many influential variables. We provide a couple of examples where this technique yields tight approximation bounds. Our second result relates to constructing pseudorandom generators fooling low-degree polynomial threshold functions. This problem has received attention recently, where Diakonikolas et al proved that $k$-wise independence suffices to fool linear threshold functions. We prove that any low-degree polynomial threshold function, which can be represented as a function of a small number of linear threshold functions, can also be fooled by $k$-wise independence. We view this as an important step towards fooling general polynomial threshold functions, and we discuss a plausible approach achieving this goal based on our techniques. Our results combine tools from real approximation theory, hyper-contractive inequalities and probabilistic methods. In particular, we develop several new tools in approximation theory which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 理解低次多项式阈值函数（PTFs）在逼近和伪随机性方面的计算能力。
• 确定k-次独立分布是否能欺骗PTFs，特别是那些基于少量线性函数的PTFs。
• 为具有许多影响变量的函数建立PTF逼近误差的下界。
• 开发实逼近理论中的新工具，以分析PTFs及其在布尔立方体上的行为。

提出的方法

• 使用逼近理论构造一个逼近多元多项式符号函数的Lipschitz函数，且在紧致域上有界。
• 应用超展开不等式和矩界，控制在均匀分布和k-次独立分布下线性函数的尾部概率。
• 在有界区域内对符号函数进行多项式逼近，其次数取决于所需误差和Lipschitz常数。
• 引入截断论证以处理线性函数的较大取值，通过矩生成函数控制误差。
• 结合并集界和集中不等式，控制任一线性函数超过阈值A的概率。
• 利用PTFs作为少数线性函数的函数的结构，将问题简化为在有界域上分析低维多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-次独立性是否能欺骗依赖于少量线性函数的多项式阈值函数？
• RQ2 为逼近具有许多影响变量的布尔函数，所需的PTF最小次数是多少？
• RQ3 低次PTFs能多好地逼近MODm或F2-多项式等函数？
• RQ4 能否开发逼近理论的新工具，以分析PTFs在布尔立方体上的行为？
• RQ5 PTF的次数与逼近高影响变量函数的能力之间存在何种权衡？

主要发现

• 任何作为m个线性函数的函数的d次PTF，可通过k-次独立性实现ε-欺骗，其中k = exp(O(d/ε)^d) + poly((log m · d/ε)^d, m, wt(p))。
• 具有至少n^α个影响变量的函数无法被d次PTF以优于1 - τ/2 + O(d/(α log n)^{1/8d})的误差逼近，其中τ为最小影响值。
• 当d ≤ O(log log n / log log log n)时，MODm函数无法被低次PTFs逼近，逼近误差至多为1 - 1/2 + o(1)。
• 在相同次数约束下，任何F2-多项式在次数d下无法被低次PTFs逼近得优于平凡界1/2 + o(1)。
• 新开发的逼近理论工具可控制|g(x)|^{cA}在g(x)取大值时的期望，从而在伪随机性证明中实现尾部控制。
• 当A = Ω(φ(ε) ln φ(ε))时，线性函数超过阈值A的尾部区域误差被控制在ε/10以内，其中φ(ε)依赖于m、d和ε。