[论文解读] Polynomial time algorithm for left [right] local testability

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文提出多项式时间算法，用于判断确定性有限自动机（DFA）是否接受右局部可测试语言或左局部可测试语言，其依据是转换图和幺半群的必要且充分条件。该方法利用可达性分析、产品图中的强连通分量（SCC）检测以及高效遍历，以验证局部可测试性和局部幂等性，时间复杂度分别为右局部可测试性的 O(n²) 和左局部可测试性的 O(n³)。

ABSTRACT

A right [left] locally testable language S is a language with the property that for some non negative integer k two words u and v in alphabet S are equal in the semi group if (1) the prefix and suffix of the words of length k coincide, (2) the set of segments of length k of the words as well as 3) the order of the first appearance of these segments in prefixes [suffixes] coincide. We present necessary and sufficient condition for graph [semi group] to be transition graph [semi group] of the deterministic finite automaton that accepts right [left] locally testable language and necessary and sufficient condition for transition graph of the deterministic finite automaton with locally idempotent semi group. We introduced polynomial time algorithms for the right [left] local testable problem for transition semi group and transition graph of the deterministic finite automaton based on these conditions. Polynomial time algorithm verifies transition graph of automaton with locally idempotent transition semi group.

研究动机与目标

• 建立 DFA 的转换图和幺半群为右或左局部可测试的必要且充分条件。
• 基于其转换图的结构特性，开发用于检查 DFA 局部可测试性的高效算法。
• 验证转换幺半群的局部幂等性，这是局部可测试性的先决条件。
• 为形式语言分析的 TESTAS 软件包提供一个计算框架，以集成这些检查。

提出的方法

• 构建 DFA 的转换图 Γ 并计算节点之间的可达性关系。
• 构建产品图 Γ² 和 Γ³，以分析状态对和三元组在 SCC 中的成员关系及可达性。
• 在 Γ² 和 Γ³ 中识别 SCC 节点，以检测循环和对局部可测试性至关重要的结构依赖关系。
• 在 Γ² 中从新根节点 (0,0) 出发应用深度优先搜索，以在特定约束下验证可达性条件。
• 使用可达性表和对 Γ³ 的三元组检查，验证涉及对称状态对的左局部可测试性条件。
• 利用局部幂等性是局部可测试性的必要条件这一事实，通过在 Γ² 和 Γ³ 上进行 SCC 和可达性检查来验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 确定性有限自动机的转换图满足何种必要且充分条件，才能接受右局部可测试语言？
• RQ2 如何利用图论性质，算法化地验证转换幺半群的局部幂等性？
• RQ3 转换图及其产品图 Γ² 和 Γ³ 的哪些结构特征决定了左局部可测试性？
• RQ4 能否基于图和幺半群条件，构建多项式时间算法来测试右和左局部可测试性？
• RQ5 在所需可达性和 SCC 约束方面，右局部可测试性和左局部可测试性的条件有何不同？

主要发现

• 本文基于 Γ² 和 Γ³ 中的可达性和 SCC 结构，建立了右局部可测试性的必要且充分条件。
• 右局部可测试性的多项式时间算法时间复杂度为 O(n²)，其中 n 为 DFA 的状态数。
• 对于左局部可测试性，由于需在 Γ³ 上进行更复杂的检查以及对称可达性条件，算法时间复杂度为 O(n³)。
• 用于验证转换幺半群局部幂等性的算法，通过在 Γ² 和 Γ³ 上进行 SCC 和可达性分析，时间复杂度为 O(n³)。
• 所提出的算法已集成到用于形式语言分析的 TESTAS 软件包中。
• 与先前工作相比，本研究提供了一个统一且高效的框架，用于测试 DFA 中的局部可测试性及相关性质。