[论文解读] Polynomial-Time Algorithms for Sliding Tokens on Cactus Graphs and Block Graphs

Duc A. Hoang, Ryuhei Uehara|arXiv (Cornell University)|May 1, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文提出了在仙人掌圖與塊圖上解決滑動Token問題的多項式時間演算法，利用結構特徵辨識會阻礙轉換的禁止結構。證明若不存在此類結構，則任意兩個獨立集之間皆存在長度為多項式之有效轉換序列。

ABSTRACT

Given two independent sets $I, J$ of a graph $G$, and imagine that a token (coin) is placed at each vertex of $I$. The Sliding Token problem asks if one could transform $I$ to $J$ via a sequence of elementary steps, where each step requires sliding a token from one vertex to one of its neighbors so that the resulting set of vertices where tokens are placed remains independent. This problem is $\mathsf{PSPACE}$-complete even for planar graphs of maximum degree $3$ and bounded-treewidth. In this paper, we show that Sliding Token can be solved efficiently for cactus graphs and block graphs, and give upper bounds on the length of a transformation sequence between any two independent sets of these graph classes. Our algorithms are designed based on two main observations. First, all structures that forbid the existence of a sequence of token slidings between $I$ and $J$, if exist, can be found in polynomial time. A sufficient condition for determining no-instances can be easily derived using this characterization. Second, without such forbidden structures, a sequence of token slidings between $I$ and $J$ does exist. In this case, one can indeed transform $I$ to $J$ (and vice versa) using a polynomial number of token-slides.

研究动机与目标

• 確定滑動Token問題在仙人掌圖與塊圖上的計算複雜度。
• 識別會阻止獨立集之間轉換之結構障礙。
• 發展有效演算法，以確認轉換之存在或偵測其不可能性。
• 建立這些圖類別中轉換序列長度之上限。

提出的方法

• 利用多項式時間特徵化方法，識別所有會禁止獨立集之間Token滑動序列之結構。
• 基於禁止結構提出充分條件，以快速判斷無解之情形。
• 採用構造性方法，在無禁止結構時生成轉換序列。
• 利用仙人掌圖與塊圖之樹狀結構，確保多項式時間可解。
• 應用針對塊圖與仙人掌圖之階層結構量身訂做之動態分解技術。
• 證明當無障礙存在時，轉換序列必然存在，且其長度在頂點數量上為多項式有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 滑動Token問題是否可在仙人掌圖上以多項式時間求解？
• RQ2 是否存在有效之結構特徵，用以描述阻礙塊圖與仙人掌圖中獨立集之間Token滑動之障礙？
• RQ3 在這些圖類別中，任意兩個獨立集之間之有效Token滑動序列最大長度為何？
• RQ4 在仙人掌圖與塊圖中，兩獨立集之間之轉換序列於何種條件下存在？
• RQ5 能否利用結構不變量，有效判斷轉換之存在性？

主要发现

• 滑動Token問題在仙人掌圖與塊圖上可於多項式時間求解。
• 會阻礙轉換之禁止結構可於多項式時間內偵測。
• 若無此類禁止結構存在，則任意兩個獨立集之間之轉換序列必然存在。
• 轉換序列之長度在頂點數量上為多項式有界。
• 可利用結構特徵有效判斷轉換之存在性。
• 所提出之演算法具構造性，當可能時可產生有效之轉換序列。