[论文解读] Polynomial-time algorithms for the curve graph

Mark C. Bell, Richard Webb|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文提出了计算曲线图中曲线之间紧密测地线的多项式时间算法，实现了通过字长表示直接高效计算曲线距离以及映射类的关键不变量——如渐近平移长度、Nielsen–Thurston 类型和标准曲线系。

ABSTRACT

We describe a polynomial-time algorithm to compute a (tight) geodesic between two curves in the curve graph. As well as enabling us to compute the distance between a pair of curves, this has several applications to mapping classes. For example, we can use these geodesics to compute the asymptotic translation length, Nielsen--Thurston type, and canonical curve system of a mapping class in polynomial time in its word length.

研究动机与目标

• 开发一种计算曲线图中两条曲线之间紧密测地线的多项式时间算法。
• 仅使用其字长表示，实现高效计算两条曲线之间的距离。
• 将算法框架扩展至在多项式时间内计算映射类的基本不变量。
• 为通过曲线图研究映射类的几何与动力学性质提供计算工具。

提出的方法

• 利用曲线图的结构，通过组合与算法技术定义并计算曲线之间的紧密测地线。
• 采用曲线系统与曲线图路径的递归分解，以确保多项式时间复杂度。
• 以字长作为输入，避免计算过程中表示大小的指数级膨胀。
• 应用该算法通过测地线上曲线的位移计算渐近平移长度。
• 将测地线计算集成到映射类分类算法中，包括 Nielsen–Thurston 类型与标准曲线系。
• 通过依赖已知的曲线图双曲性与组合性质，确保算法的正确性与高效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在输入曲线字长的多项式时间内计算曲线图中的紧密测地线？
• RQ2 能否仅使用其字长高效计算曲线图中两条曲线之间的距离？
• RQ3 能否使用新的测地线算法在多项式时间内计算映射类的渐近平移长度？
• RQ4 能否使用该框架在多项式时间内确定映射类的 Nielsen–Thurston 类型？
• RQ5 能否通过算法化测地线构造高效计算映射类的标准曲线系？

主要发现

• 本文成功构建了一种多项式时间算法，可计算曲线图中任意两条曲线之间的紧密测地线。
• 该算法在输入曲线字长的多项式时间内计算两条曲线之间的距离。
• 使用测地线算法，映射类的渐近平移长度可在多项式时间内计算。
• 通过所提方法，映射类的 Nielsen–Thurston 类型可在多项式时间内判定。
• 使用该算法框架，映射类的标准曲线系可在多项式时间内计算。
• 所有映射类的关键不变量均以输入字长的多项式时间复杂度计算完成。