[论文解读] Polynomial-time Algorithms for the Subset Feedback Vertex Set Problem on Interval Graphs and Permutation Graphs

Charis Papadopoulos, Spyridon Tzimas|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文提出了区间图和置换图上加权子集反馈点集问题的首个多项式时间算法——这两类图是AT自由图的两个无关子类。通过利用这些图的结构特性，并基于顶点划分进行动态规划，作者实现了高效解法，对相关问题（如多路切割问题）具有重要意义。

ABSTRACT

Given a vertex-weighted graph $G=(V,E)$ and a set $S \subseteq V$, a subset feedback vertex set $X$ is a set of the vertices of $G$ such that the graph induced by $V \setminus X$ has no cycle containing a vertex of $S$. The extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem takes as input $G$ and $S$ and asks for the subset feedback vertex set of minimum total weight. In contrast to the classical extsc{Feedback Vertex Set} problem which is obtained from the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem for $S=V$, restricted to graph classes the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem is known to be NP-complete on split graphs and, consequently, on chordal graphs. However as extsc{Feedback Vertex Set} is polynomially solvable for AT-free graphs, no such result is known for the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem on any subclass of AT-free graphs. Here we give the first polynomial-time algorithms for the problem on two unrelated subclasses of AT-free graphs: interval graphs and permutation graphs. As a byproduct we show that there exists a polynomial-time algorithm for circular-arc graphs by suitably applying our algorithm for interval graphs. Moreover towards the unknown complexity of the problem for AT-free graphs, we give a polynomial-time algorithm for co-bipartite graphs. Thus we contribute to the first positive results of the extsc{Subset Feedback Vertex Set} problem when restricted to graph classes for which extsc{Feedback Vertex Set} is solved in polynomial time.

研究动机与目标

• 解决在经典反馈点集问题为多项式时间可解的图类上，子集反馈点集（SFVS）问题的计算复杂性。
• 通过在特定子类上取得积极结果，克服子集反馈点集问题在弦图与弦状图上为NP完全的困境。
• 为区间图与置换图上的加权SFVS问题设计高效算法，这两类图是AT自由图的真子类。
• 通过将问题约化为SFVS，为在这些图类上求解相关问题（如多路切割问题）奠定基础。
• 通过在共二分图上建立多项式时间可解性，为理解SFVS在AT自由图上的复杂性提供支持。

提出的方法

• 基于将顶点划分为四个集合的动态规划方法：X（解中的S-顶点）、Y（与X相邻的非S-顶点）、Z（不在解中但与Y相邻的S-顶点）、W（既不与X也不与Z相邻的非S-顶点）。
• 枚举所有可能的此类四元组配置，以构成最大S-森林，确保S-顶点诱导子图中无环。
• 利用区间图与置换图的结构特性，将此类配置数量限制在每种情况下O(n^4)以内，从而实现多项式时间枚举。
• 采用递归分解策略，利用区间图与置换图的表示结构（如区间排序与置换矩阵结构）引导状态空间。
• 引入一种安全剪枝规则：若某顶点不与X或Z中的任何S-顶点相邻，则可安全地将其包含在解中，且不会产生S-环。
• 通过证明每个最大S-森林均对应于22种标准配置之一，且每种配置均可在多项式时间内验证与处理，从而证明算法正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权子集反馈点集问题是否可在区间图上以多项式时间求解？
• RQ2 加权子集反馈点集问题是否可在置换图上以多项式时间求解？
• RQ3 在AT自由图的其他子类中，SFVS在区间图与置换图上存在多项式时间算法的结论是否可推广？
• RQ4 鉴于共二分图与区间图、置换图在结构上相似，其上的SFVS问题是否可多项式时间求解？
• RQ5 该SFVS算法在多大程度上可用于求解这些图类上的相关问题（如多路切割问题）？

主要发现

• 本文首次提出加权子集反馈点集问题在区间图上的多项式时间算法。
• 针对置换图，同样设计了多项式时间算法，这是AT自由图中首个在SFVS问题上取得正向结果的子类，且该子类中经典反馈点集问题为多项式时间可解。
• 由于最多枚举22n^4个最大S-森林，每个对应一个有效顶点集配置，该算法的时间复杂度为O(n^4)。
• 该方法可通过约化为SFVS，为区间图与置换图上的多路切割问题提供多项式时间解法。
• 同时在共二分图（AT自由图的子类）上建立了多项式时间算法，进一步扩展了SFVS问题在多项式时间可解图类中的范围。
• 结果表明，尽管SFVS在弦图与弦状图上为NP完全，但在区间图与置换图上仍为多项式时间可解。