[论文解读] Polynomial-time approximability of the k-Sink Location problem

Rémy Belmonte, Yuya Higashikawa+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文针对无向图上的k-汇点定位问题提出了一种全多项式时间近似方案（FPTAS），证明了对于每个固定的k，该问题具有FPTAS近似性。此外，本文还建立了当以k为参数时该问题为W[1]-难，从而解决了这一动态网络疏散问题的计算复杂性。

ABSTRACT

A dynamic network ${\cal N} = (G,c,τ,S)$ where $G=(V,E)$ is a graph, integers $τ(e)$ and $c(e)$ represent, for each edge $e\in E$, the time required to traverse edge $e$ and its nonnegative capacity, and the set $S\subseteq V$ is a set of sources. In the $k$-{\sc Sink Location} problem, one is given as input a dynamic network ${\cal N}$ where every source $u\in S$ is given a nonnegative supply value $σ(u)$. The task is then to find a set of sinks $X = \{x_1,\ldots,x_k\}$ in $G$ that minimizes the routing time of all supply to $X$. Note that, in the case where $G$ is an undirected graph, the optimal position of the sinks in $X$ needs not be at vertices, and can be located along edges. Hoppe and Tardos showed that, given an instance of $k$-{\sc Sink Location} and a set of $k$ vertices $X\subseteq V$, one can find an optimal routing scheme of all the supply in $G$ to $X$ in polynomial time, in the case where graph $G$ is directed. Note that when $G$ is directed, this suffices to obtain polynomial-time solvability of the $k$-{\sc Sink Location} problem, since any optimal position will be located at vertices of $G$. However, the computational complexity of the $k$-{\sc Sink Location} problem on general undirected graphs is still open. In this paper, we show that the $k$-{\sc Sink Location} problem admits a fully polynomial-time approximation scheme (FPTAS) for every fixed $k$, and that the problem is $W[1]$-hard when parameterized by $k$.

研究动机与目标

• 解决一般无向图上k-汇点定位问题的计算复杂性，其中最优汇点位置可能位于边而非仅顶点上。
• 确定该问题是否对每个固定的k都存在全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 研究当以k为参数时该问题的参数化复杂性，特别是W[1]-难性。
• 弥合有向图情况下的多项式时间可解性与无向图情况下的开放复杂性状态之间的差距。

提出的方法

• 通过将每条边划分为长度至多为ε·τ(e)的段，提出一种基于离散化的FPTAS，从而生成有限的候选汇点位置集合。
• 采用一种舍入技术来近似最优汇点位置，确保路由时间最多增加(1+ε)倍。
• 应用一种变换论证，表明任何通往最优汇点位置x的路由均可重新路由至附近的候选位置x′，延迟最多为τ(e)/2。
• 证明对于任意边e，相邻候选位置之间的距离至多为ε·τ(e)，从而实现(1+ε)-近似。
• 将k-击中集问题归约至k-汇点定位问题，以证明W[1]-难性，其中U中的顶点代表潜在汇点，X中的集合代表供应源。
• 证明在单位容量和单位传输时间的构造图中，所有供应可在时间1内完成疏散，当且仅当存在大小为k的击中集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个固定的k，无向图上的k-汇点定位问题是否能在多项式时间内以任意(1+ε)因子近似？
• RQ2 当以k为参数时，k-汇点定位问题是否为W[1]-难，即使在所有边具有单位容量和单位传输时间的条件下？
• RQ3 由于最优汇点可能位于边上，有向图情况下的多项式时间算法是否意味着无向图情况也可解？
• RQ4 当以k为参数时，能否在时间f(k)·poly(n,1/ε)内以(1+ε)-近似比求解该问题？
• RQ5 有向图与无向图之间在结构上存在何种差异，使得无向图情况在路由约束相似的情况下计算上更困难？

主要发现

• 对于一般无向图上的k-汇点定位问题，该问题对每个固定的k都存在全多项式时间近似方案（FPTAS）。
• 该FPTAS在n和1/ε的多项式时间内实现(1+ε)-近似，且近似比与k无关。
• 当以k为参数时，该问题即使在所有边具有单位容量和单位传输时间的条件下，仍为W[1]-难。
• 通过从k-击中集问题的归约证明了W[1]-难性，表明该问题在强约束条件下依然计算困难。
• 在无向图中，最优汇点位置可能位于边上而非仅在顶点上，这使得搜索空间更加复杂，且无法直接应用有向图的技术。
• 该近似方案依赖于将边段离散化至与ε·τ(e)成比例的分辨率，从而确保路由时间误差有界。