[论文解读] Polynomial-time Classical Simulation for One-dimensional Quantum Gibbs States

Tomotaka Kuwahara, Keiji Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2018

Quantum many-body systems参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出了一种多项式时间的经典算法，用于在任意有限温度下近似一维量子吉布斯态的配分函数。通过利用关联的指数衰减特性以及对Baker-Campbell-Hausdorff展开的精细分析，证明了在误差 𝜖 内计算自由能的代价为 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖))，其中多项式次数关于 𝛽 呈 e^{𝒪(𝛽)} 的依赖关系，从而确立该问题在P类中可高效求解。

ABSTRACT

This paper discusses a classical simulation to compute the partition function (or free energy) of generic one-dimensional quantum many-body systems. Many numerical methods have previously been developed to approximately solve one-dimensional quantum systems. However, there exists no exact proof that arbitrary one-dimensional quantum Gibbs states can be efficiently solved by a classical computer. Therefore, the aim of this paper is to prove this with the clustering properties for arbitrary finite temperatures $β^{-1}$. We explicitly show an efficient algorithm that approximates the partition function up to an error $ε$ with a computational cost that scales as $n\cdot { m poly}(1/ε)$, where the degree of the polynomial depends on $β$ as $e^{O(β)}$. Extending the analysis to higher dimensions at high temperatures, we obtain a weaker result for the computational cost n\cdot (1/ε)^{\log^{D-1} (1/ε)}, where $D$ is the lattice dimension.

研究动机与目标

• 建立对任意有限温度下一维通用量子多体系统配分函数近似计算复杂度的理论框架。
• 证明在 1/poly(n) 精度下，自由能的判定问题属于P类，从而解决量子多体物理中长期悬而未决的开放问题。
• 在高温条件下，将分析扩展至高维系统，刻画计算代价的标度行为。
• 通过改进Baker-Campbell-Hausdorff（BCH）展开的界，严格证明局部近似在量子吉布斯态中的合理性。

提出的方法

• 利用量子近似马尔可夫性质及一维吉布斯态中关联的指数衰减特性，实现对可观测量的局部近似。
• 应用Dyson展开将局部算符表示为时间有序指数形式，从而实现对配分函数的可控近似。
• 采用重复换位子的范数的精细界：||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m，确保BCH展开在一维系统中的收敛性。
• 使用自旋块分层方案，对大小为 l 的区域上的局部可观测量迹进行近似，其中 l 取值为 𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))。
• 通过估计局部近似中项数的数量，推导出计算代价界，得到一维情况下的代价为 d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))}。
• 通过考虑局部区域的体积标度，将该框架推广至高维系统，得到在高温关联条件下代价为 (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))}。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在经典计算机上以多项式时间近似计算通用一维量子吉布斯态的配分函数？
• RQ2 在一维系统中，计算代价与系统尺寸 n 及期望精度 𝜖 的精确标度关系为何？
• RQ3 在高温关联假设下，高维系统中配分函数的计算复杂度如何随维度变化？
• RQ4 在一维系统中，Baker-Campbell-Hausdorff展开的收敛性是否允许实现可证明高效的经典模拟？若可以，其成立条件为何？

主要发现

• 一维量子吉布斯态的配分函数可在时间 𝒪(n ⋅ poly(1/𝜖)) 内以误差 𝜖 近似，其中多项式次数关于 𝛽 呈 e^{𝒪(𝛽)} 的依赖关系，证明了其在经典计算机上的高效可模拟性。
• 一维情况下的计算代价标度为 d^{𝒪(ξ e^{𝒪(𝛽)} log(1/𝜖))}，其中 ξ 为关联长度，且指数部分关于 𝛽 呈指数依赖。
• 在高维（D ≥ 2）情况下，在高温关联假设下，计算代价标度为 (1/𝜖)^{𝒪(ξ^D log^{D-1}(1/𝜖))}，该代价在 1/𝜖 上为次指数但超多项式。
• 关键技术进展是提出了对重复换位子的新界：||ad_H^m(O_L')|| ≤ (6km/(γ log m))^m，确保了在一维系统中BCH展开在临界时间之后的收敛性。
• 该结果意味着，对于一维系统，以 1/poly(n) 精度计算单位面积自由能的判定问题属于P类。
• 对于高维中非对易哈密顿量，当反温度超过临界值 𝛽_c = 𝒪(1) 时，该方法失效，此时局部近似性质不再成立。