[论文解读] Polynomial-Time Solution to the Hidden Subgroup Problem for a Class of non-abelian Groups

Martin Roetteler, Thomas Beth|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 1998

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 62

一句话总结

本文提出了一种针对非阿贝尔群族——半直积群 $W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$ 的隐藏子群问题（HSP）的多项式时间量子算法。该方法结合了在 $W_n$ 上的高效量子傅里叶采样与在 $\mathbb{F}_2$ 上的线性代数经典后处理，实现了在 $O(n)$ 次量子查询和多项式时间经典计算下对隐藏子群的精确重构。

ABSTRACT

We present a family of non-abelian groups for which the hidden subgroup problem can be solved efficiently on a quantum computer.

研究动机与目标

• 通过求解一类非阿贝尔群的隐藏子群问题（HSP），将高效量子算法的适用范围从阿贝尔群扩展至更广的范畴。
• 识别允许隐藏子群问题在量子计算机上高效求解的非阿贝尔群的结构特性，特别是那些适合进行傅里叶采样的群。
• 证明对于半直积群 $W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$，隐藏子群问题可在量子计算机上以多项式时间求解，并辅以高效的经典后处理。
• 提供一种通过将非阿贝尔 HSP 分解为阿贝尔子问题并利用共轭对称性采样来求解的通用框架。

提出的方法

• 使用标准量子线路模型，通过函数 $f: G \to R$ 的叠加访问，该函数在隐藏子群 $U \leq G$ 的陪集上为常数且互不相同。
• 在群 $W_n$ 上制备均匀叠加态，随后在叠加态中评估 $f$，将量子态投影至隐藏子群 $U$ 的某个陪集上。
• 在 $W_n$ 上应用量子傅里叶变换（QFT），由于群的结构和有界指数，该变换可高效实现。
• 测量第一寄存器，以从正交子群 $U^\perp$ 或 $(U^t)^\perp$ 中采样，具体取决于陪集代表元是否属于基群 $N$。
• 通过迭代重复量子阶段，从 $U^\perp \cap N$ 和 $(U^t)^\perp \cap N$ 中采样，利用了 $U^\perp$ 或 $(U^t)^\perp$ 中一半元素位于 $N$ 外的事实。
• 使用 $\mathbb{F}_2$ 上的线性代数进行经典后处理，计算采样子群的正交补，从而获得 $U \cap U^t$ 的生成元，最终通过 $U = (U \cap N) \cdot (U \cap U^t)$ 重构出 $U$。

实验结果

研究问题

• RQ1 隐藏子群问题是否可在非阿贝尔群上，超越阿贝尔情形，实现高效求解？
• RQ2 半直积群 $\mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$ 的结构是否允许高效量子傅里叶采样与子群重构？
• RQ3 是否可将 $W_n$ 的 HSP 问题约化为求解阿贝尔 HSP 问题，并利用共轭对称性恢复完整的隐藏子群？
• RQ4 是否存在一种系统性方法，通过量子采样与 $\mathbb{F}_2$ 上的经典线性代数，重构非阿贝尔隐藏子群？
• RQ5 该方法是否可推广至形式为 $\mathbb{Z}_2^n \rtimes_\varphi \mathbb{Z}_2$ 的其他分裂扩张，并利用表示论技术实现？

主要发现

• 对于非阿贝尔群 $W_n = \mathbb{Z}_2^n \wr \mathbb{Z}_2$，隐藏子群问题可在量子计算机上以多项式时间求解。
• 该算法仅需 $O(n)$ 次对量子黑箱函数 $f$ 的评估，且量子线路深度为 $n$ 的多项式函数。
• 在 $W_n$ 上的量子傅里叶变换可高效实现，从而有效采样正交子群 $U^\perp$ 与 $(U^t)^\perp$。
• 经典后处理涉及在 $\mathbb{F}_2$ 上求解线性系统，可在多项式时间内完成，并生成 $U \cap N$ 与 $U \cap U^t$ 的生成元。
• 通过 $W_n$ 中子群的典范分解性质，完整隐藏子群 $U$ 被重构为乘积形式 $U = (U \cap N) \cdot (U \cap U^t)$。
• 在高概率 $1 - 2^{-n}$ 下，该算法在期望 $4n$ 次迭代后成功重构 $U$，在问题的承诺条件保证下确保正确性。