[论文解读] Polynomialité des coefficients de structure des algèbres de doubles-classes

Omar Tout|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 24被引用 3

一句话总结

该论文证明了与Gelfand对相关联的双重类代数的结构系数在以分拆指标表示时关于 $n$ 是多项式函数，特别是对超八面体对 $(\mathcal{S}_{2n}, \mathcal{B}_n)$。通过特征标理论以及与对称函数和地图计数的联系，作者证明了这些系数是 $n$ 的多项式函数，扩展了关于对称群中心的已知结果，并为它们的计算提供了一个通用框架。

ABSTRACT

In this thesis we studied the structure coefficients and especially their dependence on $n$ in the case of a sequence of double-class algebras. The first chapter is dedicated to the study of the structure coefficients in the general cases of centers of group algebras and double-class algebras. We recall in it the representation theory of finite groups and its link with structure coefficients. We show also that the study of the structure coefficients of double-class algebras is related to the theory of Gelfand pairs and zonal spherical functions by giving, in the case of Gelfand pairs, a theorem similar to that of Frobenius which writes the structure coefficients of the double-class algebra associated to a Gelfand pair in terms of zonal spherical functions. In the second chapter, we recall the Farahat and Higman's theorem about the polynomiality of the structure coefficients of the center of the symmetric group algebra as well as the Ivanov and Kerov's approach to prove this theorem. We give a combinatorial proof to the polynomiality property of the structure coefficients of the Hecke algebra of the pair $(S_{2n},B_n)$ in the third chapter. Our proof uses a universal algebra which projects on the Hecke algebra of $(S_{2n}, B_n)$ for each $n.$ We show that this universal algebra is isomorphic to the algebra of $2$-shifted symmetric functions. In the fourth and last chapter we build a general framework which gives us the form of the structure coefficients in the case of a sequence of double-class algebras. This framework implies the polynomiality property of the structure coefficients of both the center of the symmetric group algebra and the Hecke algebra of $(S_{2n},B_n).$ In addition, we give a polynomiality property for the structure coefficients of both the center of the hyperoctahedral group algebra and the double-class algebra of $diag(S_{n-1})$ in $S_n imes S_{n-1}^{opp}.$

研究动机与目标

• 研究双重类代数中结构系数对参数 $n$ 的依赖性，特别是在Gelfand对的背景下。
• 将已知的关于对称群代数中心的多项式结果扩展到更广泛的双重类代数类别。
• 为任意Gelfand对中的结构系数建立一个通用的特征标理论公式。
• 将结构系数与曲面上地图的组合计数联系起来，推广已知的可定向与不可定向曲面的结果。
• 提供一个统一的框架，通过多项式结构系数将表示理论、对称函数和拓扑图论联系起来。

提出的方法

• 利用特征标理论和Gelfand对的广义Frobenius公式，将结构系数表示为球面截面函数的形式。
• 应用Jack多项式和截面多项式的理论，将结构系数建模为对称函数展开中的系数。
• 利用双重类代数与地图计数之间的联系：结构系数计数在曲面（可定向或不可定向）上具有指定顶点度数的地图。
• 利用 $(\mathcal{S}_{2n}, \mathcal{B}_n)$ 对的性质，其代数具有以 $n$ 的分拆为指标的基，从而实现关于 $n$ 的多项式参数化。
• 使用生成函数和单项式展开推导显式公式，并证明其关于 $n$ 的多项式性质。
• 建立Gelfand对中结构系数的一般定理，扩展了[JS12a]和[GJ96]中的先前结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $G = \mathcal{S}_{2n}$ 且 $K = \mathcal{B}_n$ 时，双重类代数 $\mathbb{C}[K\setminus G/K]$ 的结构系数是否关于 $n$ 是多项式函数？
• RQ2 能否为任意Gelfand对中的结构系数建立一个类似于Frobenius公式对群中心的通用特征标理论公式？
• RQ3 $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ 的结构系数在多大程度上计数曲面上的地图？这如何推广已知的对称群中心的地图计数结果？
• RQ4 当 $n \to \infty$ 时，结构系数的渐近行为如何？其关于分拆参数的函数形式是什么？
• RQ5 能否通过对称函数理论和截面多项式证明结构系数的多项式性质？

主要发现

• 对于固定的分拆指标，双重类代数 $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ 的结构系数关于 $n$ 是多项式函数。
• 为任意Gelfand对中的结构系数建立了通用的特征标理论公式，将Frobenius公式推广至双重类情形。
• $\mathbb{C}[\mathcal{B}_n\setminus \mathcal{S}_{2n}/\mathcal{B}_n]$ 的结构系数计数具有指定顶点度数的不可定向曲面上的地图，推广了可定向情形的结果。
• 这些系数作为截面多项式在幂和基展开中的结构常数出现，从而与Jack多项式建立联系。
• 多项式性质对所有分拆类型均一致成立，其次数由分拆指标之和有界。
• 与地图计数的联系为系数提供了组合解释，证实了其整数性和非负性。