[论文解读] Polynomials with Surjective Arboreal Galois Representations Exist in Every Degree

Joel Specter|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文证明了Odoni的猜想：对于任意数域 $E$ 及每个正整数 $n$，存在一个首一多项式 $f \in E[X]$，其次数为 $n$，使得 $f$ 的所有迭代都是不可约的，且相关的树形伽罗华表示是满射到正则 $n$-叉树的自同构群。作者通过形如 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$ 的多项式族显式构造了此类多项式，证明当 $E/\mathbb{Q}$ 仅在有限多个素数处有分歧时，对无穷多个 $A \in \mathbb{Q}$，该表示在 $E$ 上是满射的。

ABSTRACT

Let~$E$ be a Hilbertian field of characteristic~$0$. R.W.K. Odoni conjectured that for every positive integer~$n$ there exists a polynomial~$f\in E[X]$ of degree~$n$ such that each iterate~$f^{\circ{k}}$ of~$f$ is irreducible and the Galois group of the splitting field of~$f^{\circ k}$ is isomorphic to the automorphism group of a regular,~$n$-branching tree of height~$k.$ We prove this conjecture when~$E$ is a number field.

研究动机与目标

• 为解决特征为0的希尔伯特域上Odoni关于具有满射树形伽罗华表示的多项式存在性的猜想。
• 在数域上建立此类多项式的存在性，这些数域是希尔伯特域且仅在有限多个素数处有分歧。
• 显式构造一个参数族 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$，使得对无穷多个 $A \in \mathbb{Q}$，其树形伽罗华表示是满射的。
• 验证0的原像树上的伽罗华作用同构于正则 $n$-分支树的自同构群。
• 证明树形伽罗华表示的像包含一个同余子群 $\Gamma(N)$，通过局部条件和弱逼近确保满射性。

提出的方法

• 为 $a < n$ 构造一个参数为 $A \in \mathbb{Q}$ 的多项式族 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$，以确保在 $E$ 上所有迭代的不可约性。
• 在素数 $p_0, p_k, p_\infty$ 处使用局部条件，以确保弗罗贝尼乌斯群像包含与 $\Gamma(N)$ 生成元共轭的元素，这些元素拓扑生成一个稠密子群。
• 应用克拉斯纳引理，证明当 $A$ 在 $\ell$-进邻域中接近某个基值时，$f(X,A)$ 的分裂域保持为 $S_n$-扩张。
• 使用弱逼近，在有限多个位置上构造无穷多个满足局部条件的有理数 $A$，以确保像包含 $\Gamma(1)$。
• 通过在有限多个位置上验证有限列表的局部假设 (A.1)–(A.8)，确认树形伽罗华表示的像包含 $\Gamma(1)$。
• 利用 $E$ 是伽罗华扩张且在某些素数处无分歧的事实，确保伽罗华群 $G_E$ 包含弗罗贝尼乌斯群的正规包，从而在 $E$ 上保持满射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个正整数 $n$ 和每个数域 $E$，是否存在一个首一多项式 $f \in E[X]$，其次数为 $n$，使得所有迭代不可约且树形伽罗华表示是满射的？
• RQ2 此类多项式能否通过 $\mathbb{Q}$ 上的一参数族显式构造？
• RQ3 参数 $A$ 的哪些局部条件可确保树形伽罗华表示的像包含 $\Gamma(N)$（对某个 $N$）？
• RQ4 如何利用弱逼近和 $p$-进扰动来生成无穷多个使得表示满射的 $A \in \mathbb{Q}$？
• RQ5 当基域从 $\mathbb{Q}$ 扩张到 $E$ 时，$E/\mathbb{Q}$ 满足何种条件可使树形伽罗华表示在 $\mathbb{Q}$ 上的满射性得以保持？

主要发现

• 对于每个在有限多个素数处无分歧的数域 $E$ 及每个 $n \geq 1$，存在一个首一多项式 $f_{a,A}(X) = X^a(X - A)^{n-a} + A$（其中 $a < n$），使得 $f$ 的所有迭代在 $E$ 上都不可约。
• 存在无穷多个 $A \in \mathbb{Q}$，使得与 $f_{a,A}$ 关联的树形伽罗华表示满射到 $\mathrm{Aut}(T_f)$，即正则 $n$-叉树的自同构群。
• 伽罗华群 $G_E$ 在树形表示下的像包含一个同余子群 $\Gamma(1)$，结合拓扑生成性，这蕴含了满射性。
• 该构造依赖于在 $\ell$-进邻域中对基值 $A_0$ 进行扰动，以满足有限多个素数处的局部条件，从而确保像包含 $\Gamma(1)$。
• 通过弱逼近，存在无穷多个满足所需局部假设 (A.1)–(A.8) 的有理数 $A$，这些条件保证了表示的满射性。
• 对于所有此类 $A$，$f(X,A)$ 在 $E$ 上的分裂域是 $S_n$-扩张，且伽罗华作用在原像树上的结构同构于 $\mathrm{Aut}(T_f)$。