[论文解读] Polystability and the Hitchin-Kobayashi correspondence

Nicholas Buchdahl, Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文在紧致凯勒流形上关于极小稳定丛 $E_0$ 附近，建立了几何不变量理论（GIT）稳定性与凯勒几何稳定性（Hitchin-Kobayashi 对应）之间的精确对应关系。通过拟线性霍奇理论方法，证明了 $E_0$ 的无穷小形变在 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 作用下为（多）稳定当且仅当对应的全纯向量丛为（多）稳定，且附近丛的模空间同胚于 GIT 商 $∞^{-1}(0)/∞\operatorname{Aut}(E_0)$，该商空间在极小稳定子集上恰好是豪斯多夫空间。

ABSTRACT

Using a quasi-linear version of Hodge theory, holomorphic vector bundles in a neighbourhood of a given polystable bundle on a compact Kaehler manifold are shown to be (poly)stable if and only if their corresponding classes are (poly)stable in the sense of geometric invariant theory with respect to the linear action of the automorphism group of the bundle on its space of infinitesimal deformations.

研究动机与目标

• 阐明在全纯向量丛形变背景下，几何不变量理论（GIT）稳定性与凯勒几何稳定性（Hitchin-Kobayashi 对应）之间的关系。
• 证明在极小稳定丛 $E_0$ 附近的全纯丛的稳定性，精确对应于其在 $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 中无穷小形变类的 GIT 稳定性。
• 建立商空间 $\Psi^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ 与 $E_0$ 附近全纯丛同构类空间之间的同胚关系，且该商空间在极小稳定子集上恰好是豪斯多夫空间。
• 证明 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 在 $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 上的作用保持库兰希映射 $∞$，从而实现局部模空间的 GIT 解释。
• 将 Hitchin-Kobayashi 对应关系推广至局部形变理论框架，表明极小稳定性在小形变下保持不变，且模空间继承自然的超凯勒结构。

提出的方法

• 利用拟线性霍奇理论版本分析 $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 中的 $\partial$-调和代表元，将其与 $L^2$-范数及 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 的作用联系起来。
• 应用库兰希理论，将 $E_0$ 附近的全纯丛局部模空间描述为全纯映射 $∞: \mathcal{N} \to H^2(X, \operatorname{End} E_0)$ 的零点集 $∞^{-1}(0)$。
• 证明库兰希映射 $∞$ 在 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 对 $\partial$-调和代表元的作用下是等变的，确保与 GIT 的兼容性。
• 利用 Hitchin-Kobayashi 对应关系，将丛 $E_\alpha$ 的稳定性与其实形变类 $\alpha \in \u221e^{-1}(0)$ 的 GIT 稳定性等价起来。
• 建立商空间 $∞^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ 与 $E_0$ 附近丛同构类空间之间的同胚关系，且当两空间均赋予商拓扑时，该同胚成立。
• 应用 Kempf-Ness 定理，将 GIT 商解释为辛商，从而将复几何与指标映射理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在极小稳定丛 $E_0$ 附近的全纯向量丛的稳定性，如何与 $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 中其无穷小形变类的 GIT 稳定性相关联？
• RQ2 能否将 $E_0$ 附近的全纯丛局部模空间描述为商 $∞^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$，且该商空间在极小稳定子集上是否为豪斯多夫空间？
• RQ3 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 的作用在多大程度上保持库兰希映射 $∞$？该性质如何实现局部形变的 GIT 解释？
• RQ4 半稳定丛的 Seshadri 分次与 GIT 意义下的轨道闭包之间存在何种关系，特别是当闭包包含一个极小稳定点时？
• RQ5 若 $E_0$ 上存在赫米特-爱因斯坦联络，如何确保库兰希映射 $∞$ 是 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$-等变的，且形变空间保持稳定性？

主要发现

• 库兰希映射 $∞: \mathcal{N} \to H^2(X, \operatorname{End} E_0)$ 在 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 对 $H^1(X, \operatorname{End} E_0)$ 中 $\partial$-调和代表元的作用下是等变的，确保与群作用的兼容性。
• 在适当限制 $∞\mathcal{N}$ 的条件下，对应于 $∞^{-1}(0)$ 中点的每个全纯丛 $E$ 均为半稳定，且任何不稳定子层均为子丛。
• 在 $E_0$ 附近的全纯丛同构类空间与集合论商 $∞^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ 之间存在一一对应关系，且当两空间均赋予商拓扑时，该对应关系为同胚。
• 商空间 $∞^{-1}(0)/\operatorname{Aut}(E_0)$ 恰好在极小稳定丛子集上为豪斯多夫空间，该子集对应于 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$-不变点。
• 类 $\alpha \in \u221e^{-1}(0)$ 在 $∞\operatorname{Aut}(E_0)$ 作用下为（多）稳定，当且仅当对应丛 $E_\alpha$ 关于凯勒度量 $\omega$ 为（多）稳定，从而确立了核心对应关系。
• 若 $\overline{\alpha}$ 是 $\alpha$ 的轨道闭包中的极小稳定点，则极小稳定丛 $E_{\overline{\alpha}}$ 同构于 $E$ 的 Seshadri 分次的分次对象 $\operatorname{Gr}(E)$，从而将 GIT 图像扩展至半稳定丛。