[论文解读] Polysymplectic Hamiltonian formalism and some quantum outcomes

G. Giachetta, L. Mangiarotti+1 more|ArXiv.org|Oct 30, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 6

一句话总结

本文为一阶拉格朗日场论提出了协变多辛哈密顿形式，建立了严格的几何框架，使能通过熟悉的量子场论方法实现量子化。关键贡献在于几乎正则拉格朗日系统与其在Legendre丛上对应的哈密顿系统之间的等价性，且对退化系统（包括杨-米尔斯理论）应用了BV量子化方法。

ABSTRACT

Covariant (polysymplectic) Hamiltonian field theory is formulated as a particular Lagrangian theory on a polysymplectic phase space that enables one to quantize it in the framework of familiar quantum field theory.

研究动机与目标

• 使用Legendre丛上的多辛结构，发展协变哈密顿场论的几何框架。
• 在几乎正则与超正则拉格朗日量的情形下，建立一阶拉格朗日场论与其哈密顿对应形式之间严格的对应关系。
• 在多辛框架内，利用巴塔林-维利科夫斯基（BV）形式，为约束与退化场论提供一种量子化程序。
• 将二次拉格朗日量的路径积分量子化推广至具有规范对称性的系统，包括杨-米尔斯理论。
• 阐明规范对称性在哈密顿形式中的作用，及其在Legendre丛与喷射提升上的作用。

提出的方法

• 在丛 $\Pi = V^*Y \wedge (\wedge^{n-1}T^*X)$ 上形式化多辛哈密顿形式，其上配备标准多辛形式 $\Omega = dp_i^\lambda \wedge dy^i \wedge \omega \otimes \partial_\lambda$。
• 将哈密顿量 $\mathcal{H}$ 定义为丛 $\zeta: Z_Y \to \Pi$ 的截面，诱导出哈密顿形式 $H = \mathcal{H}^*\Xi_Y = p_i^\lambda dy^i \wedge \omega_\lambda - \mathcal{H}\omega$。
• 通过Legendre映射 $\widehat{L}: J^1Y \to \Pi$ 建立拉格朗日与哈密顿形式之间的等价性，其像 $N_L$ 为拉格朗日约束空间。
• 将BV量子化应用于定义在子丛 $N \subset \Pi$ 的邻域 $U$ 上的拉格朗日量 $L_\Pi = \pi_N^*L_N$ 的拉格朗日量拉回，其中 $\Pi \to N$ 为纤维化流形。
• 将规范对称性识别为 $\Pi \times_Y J^1Y$ 上的微分同胚 $\Phi$，其保持拉格朗日量 $L_\Pi$ 不变，其无穷小生成元由 $\Pi \times_Y J^1Y$ 上的向量场 $\overline{u}$ 给出。
• 推导出垂直向量场 $u$ 在 $Y \to X$ 上诱导 $L_\Pi$ 的规范对称性的条件（45），确保拉格朗日量在群作用下不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使用多辛几何在Legendre丛上一致地形式化一阶拉格朗日场论的协变哈密顿形式？
• RQ2 在场论背景下，多辛、多辛与哈密顿-德东德形式之间的确切几何关系为何？
• RQ3 在何种条件下拉格朗日量可关联到一个哈密顿系统，这与拉格朗日量的正则性有何关联？
• RQ4 如何在多辛框架内的BV形式下，一致地对退化与几乎正则拉格朗日系统进行量子化？
• RQ5 规范对称性在哈密顿形式中扮演何种角色，其与原始拉格朗日量的对称性有何关联？

主要发现

• 多辛形式为一阶场论提供了几何一致且协变的哈密顿形式，其中Legendre丛 $\Pi$ 充当动量相空间。
• 对于超正则拉格朗日量，存在唯一的关联哈密顿量 $\mathcal{H}$，且路径积分中的生成泛函 $Z$ 为对动量 $p^\mu_i(x)$ 的高斯积分，积分后可恢复原始拉格朗日量。
• 在退化拉格朗日量（如杨-米尔斯理论）的情形下，关联的哈密顿系统具有非平凡的规范对称性，且BV量子化程序适用于拉回拉格朗日量 $L_\Pi$。
• 条件（45）确保垂直向量场 $u$ 在 $Y \to X$ 上诱导 $L_\Pi$ 的规范对称性，当且仅当其为原始拉格朗日量 $L$ 的规范对称性。
• 在闭嵌入子流形 $N \subset \Pi$ 上的约束哈密顿系统路径积分量子化，等价于对拉回拉格朗日量 $L_N$ 的量子化，当拉格朗日量为二次型时，生成泛函由高斯积分（40）给出。
• BV量子化程序将标准路径积分推广至几乎正则拉格朗日量，保持规范不变性，并实现具有非平凡规范群系统的系统性量子化。