[论文解读] Polysymplectic spaces, s-Kahler manifolds and lagrangian fibrations

Michele Grassi|ArXiv.org|Jun 21, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文引入了多辛流形和s-凯勒流形，作为辛几何与凯勒几何在具有多个自变量的偏微分方程（PDE）几何研究中的推广。它建立了一个自然的广义勒让德变换与哈密顿形式体系，适用于PDE，并表明s-凯勒流形——尤其是通过卡拉比-丘流形的半平坦特殊拉格朗日子丛——提供了丰富的几何模型，具备广义霍奇理论与莱夫谢茨算子。

ABSTRACT

In the first part of this paper we begin the study of polysymplectic manifolds, and of their relationship with PDE's. This notion provides a generalization of symplectic manifolds which is very well suited for the geometric study of PDE's with values in a smooth manifold. Some of the standard tools of analytical mechanics, such as the Legendre transformation and Hamilton's equations, are shown to generalize to this new setting. There is a strong link with lagrangian fibrations, which can be used to build polysymplectic manifolds. We then provide the definition and some basic properties of s-Kahler and almost s-Kahler manifolds. These are a generalization of the usual notion of Kahler and almost Kahler manifold, and they reduce to them for s=1. The basic properties of Kahler manifolds, and their Hodge theory, can be generalized to s-Kahler manifolds, with some modifications. The most interesting examples come from semi-flat special lagrangian fibrations of Calabi-Yau manifolds.

研究动机与目标

• 使用多辛结构为具有多个自变量的PDE建立几何框架。
• 将经典分析力学工具（如勒让德变换与哈密顿方程）推广至多辛设定。
• 定义并研究s-凯勒与近似s-凯勒流形，作为凯勒几何的高秩推广。
• 探讨半平坦特殊拉格朗日子丛在构造s-凯勒流形及其上同调性质中的作用。
• 将经典霍奇理论与莱夫谢茨型定理推广至s-凯勒设定，包括$\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$在上同调上的作用。

提出的方法

• 通过$s$个闭的2-形式$\omega_1, \dots, \omega_s$定义多辛流形，其局部模型为$\sum_i dx_i \wedge dy^j_i$。
• 在$s$重纤维积$^sT^*(M)$上构造一个典范多辛结构，推广经典力学中的余切丛。
• 在多辛流形上引入一个$s$-泊松结构，将泊松括号推广为$s$个相容括号。
• 将s-凯勒流形定义为具有$s$个2-形式$\omega_j$与黎曼度量$\mathbf{g}$的流形，使得$\omega_j = \sum_i dx_i \wedge dy^j_i$，且在局部坐标下$\mathbf{g}_{\alpha\beta} = \delta_{\alpha\beta} + \mathcal{O}(2)$。
• 通过相容度量在任意多辛流形上建立近似s-凯勒结构的存在性。
• 利用上同调上的$\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用定义初等形式，并证明s-凯勒流形的s-莱夫谢茨定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将辛几何与哈密顿力学的几何工具推广至具有多个自变量的PDE？
• RQ2 勒让德变换在多辛设定中的作用是什么？它与典范$s$-泊松结构有何关联？
• RQ3 经典凯勒不变量（如霍奇理论与莱夫谢茨算子）在多辛流形中可推广到何种程度？
• RQ4 能否利用卡拉比-丘流形的半平坦特殊拉格朗日子丛来构造非平凡的s-凯勒流形示例？
• RQ5 上同调上的$\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用的上同调后果是什么？它们与莱夫谢茨定理有何关联？

主要发现

• 多辛流形将辛流形推广至具有$s$个自变量的PDE，其局部模型为$\omega_j = \sum_i dx_i \wedge dy^j_i$。
• 当拉格朗日量非退化时，勒让德变换推广为$^sT(M)$与$^sT^*(M)$之间的局部微分同胚，将诱导的多辛结构映射到$^sT^*(M)$上的典范结构。
• 任意多辛流形上存在一个典范$s$-泊松结构，允许将哈密顿方程推广至$s$个演化方向。
• s-凯勒流形推广了凯勒流形，当$s=1$时退化为凯勒流形，并具备丰富的霍奇理论结构与广义莱夫谢茨定理。
• $\mathbf{sl}(s+1,\mathbf{R})$-作用保持初等形式分解，且s-莱夫谢茨定理对s-凯勒流形成立。
• 反例表明，在紧致$s$-凯勒流形中，$\mathbf{Prim}^q(M)$不必然在$q > n$时为零，例如3-环面$\mathbf{T}^3$满足$\dim_{\mathbf{R}}(\mathbf{Prim}^2(\mathbf{T}^3)) = 1$。