[论文解读] Polytopal templates for the formulation of semi-continuous vectorial finite elements of arbitrary order

Adam Sky, Ingo Muench|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2022

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过在参考单形上使用多面体模板，构建任意阶次的 H(curl) 和 H(div)-符合向量有限元。通过将独立的 H¹-符合多项式基与定义在多面体面（顶点、边、面）上的向量模板相结合，该方法利用一致的 Piola 变换实现无歧义性且符合的基函数，其有效性已在松弛微结构模型中得到验证，展现出最优收敛性。

ABSTRACT

The Hilbert spaces $H(\mathrm{curl})$ and $H(\mathrm{div})$ are needed for variational problems formulated in the context of the de Rham complex in order to guarantee well-posedness. Consequently, the construction of conforming subspaces is a crucial step in the formulation of viable numerical solutions. Alternatively to the standard definition of a finite element as per Ciarlet, given by the triplet of a domain, a polynomial space and degrees of freedom, this work aims to introduce a novel, simple method of directly constructing semi-continuous vectorial base functions on the reference element via polytopal templates and an underlying $H^1$-conforming polynomial subspace. The base functions are then mapped from the reference element to the element in the physical domain via consistent Piola transformations. The method is defined in such a way, that the underlying $H^1$-conforming subspace can be chosen independently, thus allowing for constructions of arbitrary polynomial order. The base functions arise by multiplication of the basis with template vectors defined for each polytope of the reference element. We prove a unisolvent construction of Nédélec elements of the first and second type, Brezzi-Douglas-Marini elements, and Raviart-Thomas elements. An application for the method is demonstrated with two examples in the relaxed micromorphic model

研究动机与目标

• 开发一种系统化、灵活的方法，用于在一般多面体参考单元上构建高阶 H(curl) 和 H(div)-符合有限元。
• 将底层 H¹-符合多项式基的选择与向量有限元构造解耦，从而实现任意多项式阶次。
• 通过参考单元上的模板化构造，确保所得向量基的无歧义性与符合性。
• 在具有挑战性的应用——松弛微结构模型中，验证该方法的有效性与最优收敛性。
• 提供一个框架，继承底层标量多项式基的优良性质（如 Kronecker delta 性质、最优复杂度）。

提出的方法

• 该方法通过将参考单元上的 H¹-符合多项式基与关联于参考单形各多面体（顶点、边、面）的预定义模板向量相乘，构造向量基函数。
• 为参考三角形和四面体定义了多面体模板，为顶点、边和面分配向量方向，以确保正确的切向或法向连续性。
• 通过一致的 Piola 变换将所得的向量基函数映射到物理单元，从而保持 H(curl) 和 H(div) 的符合性质。
• 通过线性无关性与符合性定理，证明了该构造在 Nédélec 元（I 型与 II 型）、BDM 元及 Raviart-Thomas 元上的无歧义性。
• 该方法允许独立选择 H¹ 多项式基（如拉格朗日、勒让德、伯恩斯坦），从而实现任意多项式阶次，并继承基函数的性质。
• 该框架应用于松弛微结构模型，分别采用拉格朗日与伯恩斯坦多项式，验证了最优收敛率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种统一的、基于模板的方法，用于在多面体参考单元上构建任意阶次的 H(curl) 和 H(div)-符合有限元？
• RQ2 如何在保持无歧义性与符合性的前提下，将底层 H¹-符合多项式基的选择与向量有限元构造解耦？
• RQ3 多面体模板在确保元素界面间正确切向或法向连续性方面起什么作用？
• RQ4 该方法能否在复杂变分问题（如松弛微结构模型）中实现最优收敛率？
• RQ5 标量 H¹ 基的性质（如 Kronecker delta 性质、稀疏性）如何传递到所得的向量有限元基中？

主要发现

• 该方法在参考三角形与四面体上，为 Nédélec I 型与 II 型元、BDM 元及 Raviart-Thomas 元生成了无歧义基。
• 在松弛微结构模型中，使用三次元时，位移的 L²-范数收敛率为 O(h²)，微畸变的收敛率为 O(h³)，达到最优。
• 通过一致的 Piola 变换，该方法即使在高阶元素下也能确保 H(curl) 与 H(div) 的符合性。
• 该构造继承了拉格朗日多项式基的 Kronecker delta 性质，以及伯恩斯坦多项式基的最优复杂度。
• 通过简单升级底层 H¹-符合多项式空间，该框架可实现任意多项式阶次。
• 数值结果证实了在 h-自适应下的最优收敛性，收敛率与理论预期一致。