[论文解读] Polytopes of Minimum Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文证明了 $n$-维多面体的正定秩（psd 秩）至少为 $n+1$，并刻画了所有达到该最小值的多面体。研究证明，此类多面体恰好是其松弛矩阵可实现秩为 $n+1$ 的正定分解的多面体，并对二维和三维中具有最小 psd 秩的多面体进行了完整分类，包括单形、锥体、双单纯形、柱体和八面体。

ABSTRACT

The positive semidefinite (psd) rank of a polytope is the smallest $k$ for which the cone of $k imes k$ real symmetric psd matrices admits an affine slice that projects onto the polytope. In this paper we show that the psd rank of a polytope is at least the dimension of the polytope plus one, and we characterize those polytopes whose psd rank equals this lower bound. We give several classes of polytopes that achieve the minimum possible psd rank including a complete characterization in dimensions two and three.

研究动机与目标

• 确定 $n$-维多面体可能的最小正定秩（psd 秩）。
• 刻画所有 psd 秩等于下界 $n+1$ 的多面体。
• 对二维和三维中具有最小 psd 秩的多面体提供完整分类。
• 研究非完美图是否可能产生 psd 秩为 $n+1$ 的稳定集多面体。
• 通过松弛矩阵分解建立 psd 秩与组合结构之间的联系。

提出的方法

• 将多面体的 psd 秩定义为最小的 $k$，使得该多面体可通过 $k\times k$ 正定矩阵锥的仿射截面实现提升。
• 利用多面体的松弛矩阵，将 psd 秩与非负矩阵的正定分解联系起来。
• 应用锥分解的概念，特别是正定矩阵锥的分解，以分析最小提升结构。
• 借助对偶性与对偶性论证，分析达到最小 psd 秩的多面体的组合类型。
• 通过对松弛矩阵的子矩阵（特别是哈达玛平方根）进行秩分析，证明 psd 秩的下界。
• 应用完美图定理及奇圈与反圈的性质，分析稳定集多面体。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个 $n$-维多面体的最小可能 psd 秩是多少？
• RQ2 哪些多面体实现了最小 psd 秩 $n+1$？
• RQ3 二维与三维中具有 psd 秩 $n+1$ 的多面体的完整分类是什么？
• RQ4 非完美图是否可能产生 psd 秩为 $n+1$ 的稳定集多面体？
• RQ5 多面体的 psd 秩如何与其中松弛矩阵的组合结构相关联？

主要发现

• 任何 $n$-维多面体的 psd 秩至少为 $n+1$。
• 当且仅当其松弛矩阵容许秩为 $n+1$ 的正定分解时，多面体的 psd 秩为 $n+1$。
• 在二维情况下，具有最小 psd 秩的多面体为三角形和四边形。
• 在三维情况下，具有最小 psd 秩的多面体包括单形、四边形锥体、双单纯形、三角柱体、双平面对称八面体和双平面对称长方体。
• 图的稳定集多面体具有 psd 秩 $n+1$ 当且仅当该图为完美图。
• 对于 $2m+1$ 个顶点的奇圈 $H$，$\textup{STAB}(H)$ 的松弛矩阵的 psd 秩大于 $2m+2$，从而证明其无法达到最小 psd 秩。