[论文解读] Pontryagin's maximum principle for optimal control of the nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes systems in two dimensions

Tania Biswas, Sheetal Dharmatti+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文为描述不混溶流体混合物的二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统最优控制问题建立了庞特里亚金最大值原理。通过制定一个分布式控制问题以最小化一个代价泛函，作者证明了最优控制的存在性，并利用伴随变量推导出一阶必要最优性条件，为相分离流体系统的反馈控制提供了理论基础。

ABSTRACT

In this work, we address some optimal control problems related to the evolution of two isothermal, incompressible, immisible fluids in a two dimensional bounded domain. A distributed optimal control problem is formulated as the minimization of a suitable cost functional subject to the controlled nonlocal Cahn-Hilliard-Navier-Stokes equations. We prove the existence of an optimal control and then establish the Pontryagin's maximum principle for optimal control of such systems, which gives the first-order necessary conditions of optimality. We characterize the optimal control using the adjoint variable.

研究动机与目标

• 解决由非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes方程控制的二维不可压缩不混溶流体混合物的最优控制问题。
• 证明最小化代价泛函的分布式控制问题中存在最优控制。
• 针对此类非局部PDE系统，利用庞特里亚金最大值原理建立一阶必要最优性条件。
• 通过伴随变量方法表征最优控制。

提出的方法

• 制定一个分布式最优控制问题，其中需最小化的代价泛函受非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统约束。
• 应用变分法推导控制问题的一阶最优性条件。
• 引入与状态方程相关的伴随系统，以表征最优控制。
• 利用伴随变量推导出以庞特里亚金最大值原理形式表示的最优性必要条件。
• 通过适当函数空间中的紧致性与弱收敛性论证，建立最优控制的存在性。
• 在二维有界区域中工作，以确保非局部与非线性PDE系统的数学可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统中，最优控制存在的条件是什么？
• RQ2 如何为这一类非局部耦合PDE系统推导一阶必要最优性条件？
• RQ3 伴随变量在表征此类流体混合物模型的最优控制中起什么作用？
• RQ4 庞特里亚金最大值原理能否严格推广至非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统？

主要发现

• 对于由二维非局部Cahn-Hilliard-Navier-Stokes系统控制的分布式控制问题，最优控制存在。
• 针对此非局部PDE系统，通过庞特里亚金最大值原理建立了的一阶必要最优性条件。
• 最优控制通过伴随变量表征，该伴随变量将状态方程与共轭状态方程联系起来。
• 推导出的最优性系统包括状态方程、伴随方程以及涉及代价泛函梯度的最优性条件。