[论文解读] Popular Matching with Lower Quotas

Meghana Nasre, Prajakta Nimbhorkar|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对医院-住院医师问题中最低配额（HRLQ）的新型算法框架，证明了即使在不存在稳定匹配的情况下，也始终存在一个在所有可行匹配中具有优势的可行匹配。该方法通过定制化变换将HRLQ实例转化为标准医院-住院医师问题，从而实现O(|R|(|E| + |H|))时间内高效计算最大基数的受欢迎匹配，以及在O(|R|²(|E| + |H|))时间内计算在最大基数可行匹配中的受欢迎匹配。

ABSTRACT

We consider the well-studied Hospital Residents (HR) problem in the presence of lower quotas (LQ). The input instance consists of a bipartite graph $G = (\mathcal{R} \cup \mathcal{H}, E)$ where $\mathcal{R}$ and $\mathcal{H}$ denote sets of residents and hospitals respectively. Every vertex has a preference list that imposes a strict ordering on its neighbors. In addition, each hospital $h$ has an associated upper-quota $q^+(h)$ and lower-quota $q^-(h)$. A matching $M$ in $G$ is an assignment of residents to hospitals, and $M$ is said to be feasible if every resident is assigned to at most one hospital and a hospital $h$ is assigned at least $q^-(h)$ and at most $q^+(h)$ residents. Stability is a de-facto notion of optimality in a model where both sets of vertices have preferences. A matching is stable if no unassigned pair has an incentive to deviate from it. It is well-known that an instance of the HRLQ problem need not admit a feasible stable matching. In this paper, we consider the notion of popularity for the HRLQ problem. A matching $M$ is popular if no other matching $M'$ gets more votes than $M$ when vertices vote between $M$ and $M'$. When there are no lower quotas, there always exists a stable matching and it is known that every stable matching is popular. We show that in an HRLQ instance, although a feasible stable matching need not exist, there is always a matching that is popular in the set of feasible matchings. We give an efficient algorithm to compute a maximum cardinality matching that is popular amongst all the feasible matchings in an HRLQ instance.

研究动机与目标

• 解决当最低配额限制可行匹配时，将住院医师分配给医院的实际挑战，尤其是在不存在稳定匹配的情况下。
• 以受欢迎性（popularity）替代稳定性要求——这是一种更强、更具鲁棒性的公平与集体满意度概念。
• 确保输出的匹配既可行（满足最低和最高配额），又在所有可行匹配中具有受欢迎性。
• 开发高效算法，用于计算HRLQ中最大基数的受欢迎匹配，以及在最大基数可行匹配中的受欢迎匹配。
• 提供一种组合的、非线性规划（LP）基础的受欢迎性证明，推广并扩展了稳定匹配与HR文献中的先前成果。

提出的方法

• 通过修改医院的偏好列表和容量，构建一个变换后的HR实例G′，以编码最低配额约束。
• 利用居民和医院的分层分解来建模匹配层级，并识别交错路径与环路中的关键路径结构。
• 定义投票规则：居民和医院通过基于偏好的投票比较匹配：(1,1) 表示相互偏好，(−1,−1) 表示相互排斥。
• 在变换后的实例G′上应用Gale-Shapley算法，计算出一个稳定匹配，再将其映射回原始HRLQ实例中的可行匹配。
• 对于最大基数受欢迎匹配，通过修改优先级将问题约化为第二个HR实例G′′，以优先考虑未匹配的居民。
• 通过结构引理证明正确性，表明映射后的匹配通过路径分解和票数平衡论证，能够保持可行性和受欢迎性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不存在稳定匹配的情况下，HRLQ实例中是否始终存在一个在所有可行匹配中具有受欢迎性的可行匹配？
• RQ2 能否在HRLQ中高效计算出在可行匹配集合中最大基数的受欢迎匹配？
• RQ3 能否在所有最大基数可行匹配中计算出一个受欢迎匹配？其时间复杂度是多少？
• RQ4 如何在保留组合结构的同时，将受欢迎性概念适配到HRLQ中，避免依赖线性规划？
• RQ5 在匹配M ⊕ N中的交错路径与环路的哪些结构特性，能确保匹配M是受欢迎的？

主要发现

• 在任意HRLQ实例中，即使不存在稳定匹配，也始终存在一个在所有可行匹配中具有受欢迎性的可行匹配。
• 存在一个O(|R|(|E| + |H|))时间复杂度的算法，可计算出在所有可行匹配中具有最大基数且受欢迎的匹配。
• 存在一个O(|R|²(|E| + |H|))时间复杂度的算法，可计算出在所有最大基数可行匹配中具有受欢迎性的匹配。
• 该算法在变换后的HR实例G′中构造一个稳定匹配，再将其映射回原始HRLQ实例中的可行且受欢迎的匹配。
• 受欢迎性的证明依赖于交错路径与环路上的票数平衡论证，表明(1,1)边的数量至多为(−1,−1)边数量加上一个与层级相关的偏移量。
• 结构引理（如引理13）确保医院和居民在层级间被正确划分，且层级间不存在无效边，从而保持可行性和受欢迎性。