[论文解读] Popular Matchings with Multiple Partners

Florian Brandl, Telikepalli Kavitha|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文引入了两级Gale-Shapley算法，用于在具有多个伙伴的二分图中计算最大规模的流行匹配，扩展了经典的稳定匹配理论。该文证明该算法可在线性时间内计算出流行匹配，并保证匹配大小至少达到最大可能匹配大小的2/3。

ABSTRACT

Our input is a bipartite graph $G = (A \cup B,E)$ where each vertex in $A \cup B$ has a preference list strictly ranking its neighbors. The vertices in $A$ and in $B$ are called students and courses, respectively. Each student $a$ seeks to be matched to $\mathsf{cap}(a) \ge 1$ courses while each course $b$ seeks $\mathsf{cap}(b) \ge 1$ many students to be matched to it. The Gale-Shapley algorithm computes a pairwise-stable matching (one with no blocking edge) in $G$ in linear time. We consider the problem of computing a popular matching in $G$ -- a matching $M$ is popular if $M$ cannot lose an election to any matching where vertices cast votes for one matching versus another. Our main contribution is to show that a max-size popular matching in $G$ can be computed by the 2-level Gale-Shapley algorithm in linear time. This is an extension of the classical Gale-Shapley algorithm and we prove its correctness via linear programming.

研究动机与目标

• 为解决成对稳定匹配效率低下（其规模可能小至最大匹配大小的一半）的问题，引入一种更具全局效率的匹配概念。
• 将流行性的概念从一对一匹配扩展到多对多匹配，其中顶点（学生与课程）具有容量和偏好。
• 设计一种高效算法，以在最大化匹配顶点数量的同时计算出流行匹配，确保公平性与社会福利。
• 建立流行匹配规模的理论界，证明最大规模流行匹配至少为最大匹配规模的2/3。
• 证明成对稳定匹配是最小可能的流行匹配，从而确立基于流行性的匹配层次结构。

提出的方法

• 将经典Gale-Shapley算法扩展为两级版本，通过模拟学生与课程之间的分层匹配过程，以处理多个伙伴。
• 通过变换构建一个修改后的图 $G'_{M_0}$，其中每个未匹配顶点均连接到一个“最后选择”节点，从而实现对加权偏好投票的建模。
• 应用线性规划对偶性证明两级Gale-Shapley算法的正确性，表明所得匹配为流行匹配。
• 在变换后的图中使用增广路径分析来界定匹配规模，证明任意增广路径的长度至少为5。
• 在 $G'_{M_0}$ 的边上定义一个权重函数 $\mathsf{wt}_{M_0}(e)$，以建模匹配之间一对一比较中的投票偏好。
• 引入匹配 $T$ 在 $G'_{M_0}$ 中的实现 $T^*$ 概念，通过 $\Delta(S,T)$ 将匹配的流行性与得票差异联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有容量和偏好的多对多二分匹配设置中，能否高效计算出最大规模的流行匹配？
• RQ2 在该类设置中，流行匹配的最小规模相对于最大匹配规模的比值是多少？
• RQ3 是否存在流行匹配的结构化表征，使得除成对稳定性外，也能实现高效计算？
• RQ4 从社会福利与资源利用角度，流行匹配的规模与成对稳定匹配相比如何？
• RQ5 经典Gale-Shapley算法能否被扩展以处理多个伙伴，同时保持流行性与效率？

主要发现

• 两级Gale-Shapley算法可在时间复杂度为线性的条件下计算出最大规模的流行匹配，适用于大规模应用场景。
• 任何最大规模流行匹配 $M_0$ 的大小至少为 $\frac{2}{3}|M_{\max}|$，其中 $M_{\max}$ 为图中的最大匹配。
• 在多对多设置中，成对稳定匹配是最小可能的流行匹配，因此也是最小规模的弱流行匹配。
• 当且仅当对所有成对稳定匹配 $S$，得票差异 $\Delta(S,T) \leq 0$ 时，匹配 $T$ 才是流行的，从而建立了基于投票的表征。
• 在变换图 $G'_{M_0}$ 中，相对于 $M'_0$ 的任意增广路径长度至少为5，这是证明2/3近似界的关键。
• 该算法确保在任意最大规模流行匹配中，每个顶点均以相同容量被匹配，将Rural Hospitals定理推广至流行匹配设置。