[论文解读] Population viewpoint on Hawkes processes

Alexandre Boumezoued|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文通过将系统建模为具有移民和出生的年龄结构种群，提出了一种针对具有一般移民的线性霍克斯过程的种群视角。通过追踪过去事件的年龄金字塔，推导出非平稳霍克斯过程的新分布性质，推广了指数生育函数，并通过一种新颖的积分微分方程框架实现了精确的拉普拉斯变换计算。

ABSTRACT

This paper focuses on a class of linear Hawkes processes with general immigrants. These are counting processes with shot noise intensity, including self-excited and externally excited patterns. For such processes, we introduce the concept of age pyramid which evolves according to immigration and births. The virtue if this approach that combines an intensity process definition and a branching representation is that the population age pyramid keeps track of all past events. This is used to compute new distribution properties for a class of linear Hawkes processes with general immigrants which generalize the popular exponential fertility function. The pathwise construction of the Hawkes process and its underlying population is also given.

研究动机与目标

• 使用基于年龄和标记的种群动力学框架，对具有一般移民的线性霍克斯过程进行建模。
• 克服现有霍克斯过程分析中对平稳性假设的局限性。
• 通过追踪所有过去事件的年龄金字塔，实现霍克斯过程的路径构建。
• 为非平稳霍克斯过程推导新的分布性质，包括计数过程的拉普拉斯变换。
• 通过允许与标记相关的激发核，推广指数生育函数的情形。

提出的方法

• 将霍克斯过程建模为一个分支移民-出生过程，其中每个个体具有年龄和标记。
• 将年龄金字塔定义为通过移民和出生事件演化的随机过程。
• 采用脉冲噪声强度表示法，其中时间 t 的强度取决于所有过去事件的年龄和标记。
• 通过利用分支结构和拉普拉斯变换技术，推导出生成函数的积分微分方程组。
• 应用薄化法和泊松点测度构造方法，实现过程的路径式模拟。
• 通过涉及生成函数 G(t) 的导数的递归结构，求解拉普拉斯变换的功能方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用基于种群的框架描述具有一般移民的霍克斯过程的非平稳动力学？
• RQ2 在不假设平稳性的前提下，计数过程的精确分布性质是什么？
• RQ3 过去事件的年龄金字塔如何编码过程的完整历史，并实现分布计算？
• RQ4 对于一般激发核，计数过程的拉普拉斯变换能否以闭式表达？
• RQ5 与标记相关的生育函数在塑造过程分布行为方面起到什么作用？

主要发现

• 本文推导出计数过程 NT 和强度积分 ⟨ZT, φ⟩ 的拉普拉斯变换的显式表达式，其形式为生成函数 G(t) 的导数的函数。
• 拉普拉斯变换表示为 G 及其导数的初始值的线性组合的指数形式，其系数取决于初始条件和参数。
• 拉普拉斯变换的功能方程的解被简化为求解涉及 G(t) 导数的积分微分方程组。
• 该方法通过允许任意非负的、与标记相关的激发核，推广了以往依赖指数生育函数的研究结果。
• 年龄金字塔方法确保所有过去事件均被追踪，从而实现无需平稳性假设的精确路径式构建与分布分析。
• 该框架通过标记点过程与薄化法，提供了霍克斯过程的路径式构造，将经典簇表示法扩展至非平稳和一般移民情形。