[论文解读] Port-Hamiltonian descriptor systems

Christopher Beattie, Volker Mehrmann+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 30被引用 24

一句话总结

本文提出了一种用于微分代数方程（DAE）的新型代数与几何框架，将端口-哈密顿描述系统（pHDAE）的结构扩展至任意微分阶数的DAE。该框架证明了在等价变换下保持不变，并表明高阶DAE可通过保持pH结构的方式实现正则化，从而实现稳定数值模拟与控制。

ABSTRACT

The modeling framework of port-Hamiltonian systems is systematically extended to constrained dynamical systems (descriptor systems, differential-algebraic equations). A new algebraically and geometrically defined system structure is derived. It is shown that this structure is invariant under equivalence transformations, and that it is adequate also for the modeling of high-index descriptor systems. The regularization procedure for descriptor systems to make them suitable for simulation and control is modified to deal with the port-Hamiltonian structure. The relevance of the new structure is demonstrated with several examples.

研究动机与目标

• 将端口-哈密顿（pH）建模框架扩展至描述系统（DAE），包括高阶与索引-2系统。
• 定义一种新的pHDAE代数与几何结构，使其在系统等价变换下保持不变。
• 开发一种正则化程序，在DAE阶数降低过程中保持pH结构，确保适用于数值模拟与控制。
• 证明pHDAE中的一致初始条件与隐藏约束可系统性地纳入pH框架。
• 表明pHDAE的动力学可与代数约束明确分离，从而实现鲁棒的数值积分与控制设计。

提出的方法

• 提出一种基于斜对称与对称矩阵的新pHDAE结构定义，用于编码能量流动、耗散与端口互连。
• 应用等价变换（如基于SVD的变换）将系统分解为动态与代数部分，同时保持pH结构。
• 引入一种变换，将索引-1动力学与显式代数约束分离，明确识别出初始条件一致性条件。
• 利用隐函数定理与局部秩恒定性假设，将结果推广至非线性pHDAE。
• 推导出一种标准形式，其中系统被划分为一个隐式标准pH系统与一组描述解流形的代数约束。
• 采用矩阵分解（如$N^T$的SVD）识别不可控与索引-2约束，实现系统的系统性重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将端口-哈密顿结构一致地扩展至微分阶数大于一的微分代数方程？
• RQ2 在描述系统背景下，pH框架在系统等价变换下保留了何种结构不变性？
• RQ3 是否可在保持底层基于能量的结构与无源性特性的同时，对高阶DAE进行正则化？
• RQ4 如何系统性地表征并强制执行pHDAE中的一致初始条件与隐藏约束？
• RQ5 在保持pH结构的前提下，pHDAE的动力学在多大程度上可与代数约束解耦？

主要发现

• 所提出的pHDAE结构在等价变换下保持不变，确保对系统重参数化的鲁棒性。
• 高阶DAE（包括索引-2）可被重构为一个隐式标准pH系统与显式代数约束的耦合系统，从而支持数值积分。
• 重构后的系统明确分离了动态演化与约束流形，包括初始状态的一致性条件。
• 拉格朗日乘子（如$x_3$）通过连续表达式显式重构，确保在适当输入正则性下解的连续性。
• 对于具有$μ > 0$的非线性pHDAE，其局部结构在线性化与隐函数定理下保持不变，支持局部分析。
• 该方法确保正则化系统中仍保持无源性与李雅普诺夫稳定性，保留了物理解释性。