[论文解读] Port-Hamiltonian formulation and structure-preserving discretization of hyperelastic strings

Philipp L. Kinon, Tobias Thoma+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2023

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于具有非线性材料行为的几何精确超弹性弦的端口-哈密顿（PH）公式，通过混合有限元法和离散梯度实现结构保持的空间与时间离散化。所得的有限维PH模型保持了能量守恒、无源性以及功率共轭端口特性，在非线性材料的能量一致性方面优于标准时间积分格式（如中点法）。

ABSTRACT

Port-Hamiltonian (PH) systems provide a framework for modeling, analysis and control of complex dynamical systems, where the complexity might result from multi-physical couplings, non-trivial domains and diverse nonlinearities. A major benefit of the PH representation is the explicit formulation of power interfaces, so-called ports, which allow for a power-preserving interconnection of subsystems to compose flexible multibody systems in a modular way. In this work, we present a PH representation of geometrically exact strings with nonlinear material behaviour. Furthermore, using structure-preserving discretization techniques a corresponding finite-dimensional PH state space model is developed. Applying mixed finite elements, the semi-discrete model retains the PH structure and the ports (pairs of velocities and forces) on the discrete level. Moreover, discrete derivatives are used in order to obtain an energy-consistent time-stepping method. The numerical properties of the newly devised model are investigated in a representative example. The developed PH state space model can be used for structure-preserving simulation and model order reduction as well as feedforward and feedback control design.

研究动机与目标

• 将现有的弦的端口-哈密顿（PH）公式扩展至包含非线性超弹性材料行为。
• 开发一种有限维PH状态空间模型，以保持连续系统的几何与能量结构。
• 通过Gonzalez意义下的离散梯度，确保非线性弦的能量一致时间积分。
• 通过明确定义的端口，实现柔性多体系统内弦的模块化、功率保持耦合。
• 通过数值实验表明，所提格式在加载阶段之后仍能保持能量守恒，而标准时间积分器则不能。

提出的方法

• 基于Hu-Washizu泛函的混合变分原理，将几何精确弦的动力学公式化，将位置、速度、应变和应力作为独立变量。
• 在端口-哈密顿框架下推导初边值问题的弱形式，明确识别边界处的功率共轭端口（速度与力的配对）。
• 采用混合有限元法，对位置和速度使用连续插值，对应变和应力使用不连续插值，以获得半离散PH模型。
• 采用基于离散梯度（Gonzalez方法）的时间积分格式，确保离散系统中的能量一致性和无源性。
• 在每个时间步使用牛顿法求解非线性系统，残差容差为$10^{-11}$，并施加混合边界条件。
• 通过具有橡胶类材料特性和时变Neumann边界力的弦摆实例验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有超弹性材料行为的几何精确弦构建端口-哈密顿公式，同时保持功率共轭结构？
• RQ2 混合有限元离散化是否在半离散模型中保持PH结构与端口特性？
• RQ3 离散梯度能否确保非线性弦在外部加载阶段之后仍实现能量一致的时间积分？
• RQ4 与隐式中点法相比，所提格式在非线性材料中的能量守恒性能如何？
• RQ5 在代表性动力学实例中，所得结构保持格式的数值特性如何？

主要发现

• 所提出的PH公式通过应变能函数成功引入了非线性超弹性材料行为，扩展了先前针对线性PH模型的弦研究。
• 通过混合有限元法获得的半离散模型保持了PH结构，包括端口与因果关系，确保了功率保持的互连。
• 离散梯度时间积分格式在加载阶段后将能量守恒保持在牛顿法容差（$10^{-11}$）范围内，证明了其数值能量一致性。
• 相比之下，隐式中点法在加载阶段后仍表现出与加载阶段同量级的哈密顿量增量，表明其在非线性区域无法保持能量。
• 离散哈密顿量$\hat{H}_n$在$t = 0.2$ s后保持常数至机器精度，证实了该方法的结构保持特性。
• 该方法为未来在降阶模型、状态估计及欠驱动柔性多体系统反馈控制中的应用奠定了基础。