[论文解读] Port-Hamiltonian Realizations of Nonminimal Linear Time Invariant Systems
本文提出一种数值方法，可将一般非最小实现线性时不变（LTI）系统转换为端口-哈密顿（pH）形式，即使在前馈矩阵的对称部分为奇异时或系统本身不具备无源性时亦可实现。该方法通过正则化求解Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）不等式，利用结构化矩阵变换构造pH实现，仅通过最小扰动即可实现稳定化与无源性恢复。
Numerical methods for developing port-Hamiltonian representations of general linear time-invariant systems are studied. The approach extends previous port-Hamiltonian characterizations to include the general non-minimal case and the case where the feedthrough term fails to have an invertible symmetric part. The resulting construction is able to identify infeasibility when the system fails to be port-Hamiltonian, and allows for the incorporation of perturbations in order to arrive at a nearby port-Hamiltonian system. Results are illustrated via numerical examples.
研究动机与目标
- 将端口-哈密顿（pH）系统表征扩展至一般非最小实现LTI系统，包括前馈矩阵对称部分为奇异的情况。
- 为系统本身不具备无源性或稳定性时，开发一种数值鲁棒的pH实现构造程序。
- 通过检测KYP不等式违反情况，识别pH实现的不可行性，并量化实现有效pH结构所需的最小扰动。
- 提供一种可计算实现的算法，通过结构化矩阵分解与延拓子空间计算，将任意LTI系统转换为pH形式。
- 确保生成的pH系统在构造上既具备无源性又稳定，即使原始系统不具备这些性质。
提出的方法
- 将端口-哈密顿实现问题表述为求解形式为（9）的线性矩阵不等式（LMI），其源自Kalman-Yakubovich-Popov（KYP）条件。
- 采用正则化求解策略处理KYP LMI不可行的情况，通过引入小扰动以确保存在正定解Q。
- 对偶矩阵束（32）执行类似阶梯的约化与延拓子空间计算，以分析KYP不等式的可解性并检测结构性障碍。
- 通过解Q构造变换矩阵，将原始LTI系统转换为pH形式，同时保持系统阶数与结构不变。
- 采用导数数组方法（源自[38, 39]）分离矩阵束的有限、无穷与奇异特征值分量，提升数值鲁棒性。
- 通过数值延续与残差跟踪实现方法的实际应用，以监测系统参数变化时Q与扰动范数的行为。
实验结果
研究问题
- RQ1在前馈矩阵对称部分为奇异时，一般非最小实现LTI系统在何种条件下可被转换为端口-哈密顿系统？
- RQ2如何数值检测给定LTI系统pH实现存在的不可行性？
- RQ3为使非无源或非稳定的LTI系统获得邻近的端口-哈密顿表示，所需的最小扰动是多少？
- RQ4解Q如何随系统参数变化，特别是在奇点附近或当矩阵束指标较高时？
- RQ5该方法能否扩展至处理微分代数方程（DAE），同时保持pH结构？
主要发现
- 该方法成功为所有测试的非最小实现LTI系统构造了端口-哈密顿实现，包括KYP不等式不可行的情况。
- 当KYP不等式不可行时，算法可为轻微扰动后的系统计算出正定Q，其扰动范数（残差）在图1与图2中被数值跟踪。
- 当ϵ = 0时，矩阵束（32）的指标≥2，但该方法仍保持数值稳定，并在存在数值病态性的情况下生成有效pH结构。
- 即使在非常小或负值的ϵ下，计算得到的Q与残差仍平滑变化，表明对参数变化具有鲁棒性。
- 解Q不唯一，即使从已知pH系统出发，该方法也可能返回不同的实现，如示例37所示。
- 该方法可通过施加最小且结构化的扰动，从非无源或不稳定LTI系统构造出邻近的稳定且无源的pH系统。
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