[论文解读] Port-Hamiltonian systems on discrete manifolds

Marko Šešlija, Jacquelien M.A. Scherpen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2012

Control and Stability of Dynamical Systems参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于单纯形Dirac结构的离散流形上端口-哈密顿系统几何框架，实现了分布参数系统的结构保持空间离散化。通过在原单纯形复形和对偶单纯形复形上对上链（cochains）使用余边界算子和Hodge星矩阵，该方法保持了能量守恒和辛性等关键物理特性，并以1/n的精度成功离散化了波动方程和电报方程。

ABSTRACT

This paper offers a geometric framework for modeling port-Hamiltonian systems on discrete manifolds. The simplicial Dirac structure, capturing the topological laws of the system, is defined in terms of primal and dual cochains related by the coboundary operators. This finite-dimensional Dirac structure, as discrete analogue of the canonical Stokes-Dirac structure, allows for the formulation of finite-dimensional port-Hamiltonian systems that emulate the behaviour of the open distributed-parameter systems with Hamiltonian dynamics.

研究动机与目标

• 开发一种用于在离散流形上建模端口-哈密顿系统的几何框架，以保持系统的内在结构。
• 通过原单纯形复形和对偶单纯形复形上的上链，定义无限维Stokes-Dirac结构的离散类比。
• 实现具有边界能量流的分布参数系统的有限维、结构保持空间离散化。
• 确保数值格式中能量守恒、辛性以及微分规范对称性等物理特性的保持。
• 在波动方程和电报方程上验证该方法，并量化其精度。

提出的方法

• 将空间域表示为单纯形复形及其对偶的外接球心复形，通过上链对离散微分形式进行建模。
• 在原复形和对偶复形上，将离散外微分定义为余边界算子。
• 利用原复形和对偶复形上的上链，通过余边界算子和Hodge星算子构建单纯形Dirac结构。
• 引入修正的对偶边界算子，以在离散设置中保持分部积分公式。
• 通过Hodge星、余边界和迹算子的矩阵表示，构建有限维端口-哈密顿系统。
• 通过镜像连续端口-哈密顿结构的矩阵方程，推导离散系统动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在离散流形上构建有限维Dirac结构，以对分布参数系统进行建模？
• RQ2 在单纯形复形的背景下，Stokes-Dirac结构的离散类比是什么？
• RQ3 如何在离散设置中一致地引入边界条件，以保持能量流动？
• RQ4 所得到的离散化能否保持能量守恒和辛性等关键物理特性？
• RQ5 所提出的结构保持离散化方法在波动方程和电报方程上的收敛速率是多少？

主要发现

• 所提出的单纯形Dirac结构为分布参数端口-哈密顿系统提供了有限维、结构保持的离散化方法。
• 该方法成功利用离散上链和矩阵算子在有界区域上对波动方程和电报方程进行了建模。
• 离散化保持了能量守恒、辛性以及微分规范对称性等关键物理特性。
• 该方法的精度量化为1/n，其中n为离散化中的单元数量。
• 该离散系统可通过电感、电容和变压器实现物理构造，反映出有限维Dirac结构的非泊松性质。
• 通过在边界端口连接电阻元件实现稳定化，验证了系统的无源性与实际适用性。