[论文解读] Portfolio optimization in the case of an asset with a given liquidation time distribution

Ljudmila A. Bordag, Ivan P. Yamshchikov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文针对持有具有随机变现时间的非流动性资产的投资者，基于默顿的连续时间消费模型（对数效用函数）构建了投资组合优化框架。研究证明了在指数和威布尔分布的变现时间下，粘性解的存在性与唯一性，表明当非流动性显著时，最优策略与默顿的两资产模型存在显著偏离，尤其当非流动性资产占投资组合价值超过5%时更为明显。

ABSTRACT

Management of the portfolios containing low liquidity assets is a tedious problem. The buyer proposes the price that can differ greatly from the paper value estimated by the seller, the seller, on the other hand, can not liquidate his portfolio instantly and waits for a more favorable offer. To minimize losses in this case we need to develop new methods. One of the steps moving the theory towards practical needs is to take into account the time lag of the liquidation of an illiquid asset. This task became especially significant for the practitioners in the time of the global financial crises. Working in the Merton's optimal consumption framework with continuous time we consider an optimization problem for a portfolio with an illiquid, a risky and a risk-free asset. While a standard Black-Scholes market describes the liquid part of the investment the illiquid asset is sold at a random moment with prescribed liquidation time distribution. In the moment of liquidation it generates additional liquid wealth dependent on illiquid assets paper value. The investor has the logarithmic utility function as a limit case of a HARA-type utility. Different distributions of the liquidation time of the illiquid asset are under consideration - a classical exponential distribution and Weibull distribution that is more practically relevant. Under certain conditions we show the existence of the viscosity solution in both cases. Applying numerical methods we compare classical Merton's strategies and the optimal consumption-allocation strategies for portfolios with different liquidation-time distributions of an illiquid asset.

研究动机与目标

• 解决包含非流动性资产且变现时间不确定的投资组合管理挑战，尤其在2008年金融危机后具有重要意义。
• 将默顿的最优消费与投资框架扩展至包含一种在已知分布下以随机时间变现的非流动性资产。
• 在不同变现时间分布下，建立哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程粘性解的存在性与唯一性。
• 通过数值比较，分析威布尔与指数分布变现时间下最优策略与经典默顿策略的差异。
• 量化非流动性对消费与资产配置的影响，尤其当非流动性资产占总财富比例不可忽略时。

提出的方法

• 在默顿框架内构建连续时间最优控制问题，纳入无风险资产、风险资产以及具有随机变现时间的非流动性资产。
• 采用指数或威布尔分布对非流动性资产的变现时间进行建模，其中威布尔分布更具实际应用价值。
• 推导价值函数的HJB方程，并在一般条件下证明粘性解的存在性与唯一性。
• 运用解析方法，推导出威布尔分布变现时间下辅助函数Ψ₁、Ψ₂与Θ的显式表达式。
• 通过渐近分析验证价值函数的衰减速率快于e^(-κt)，从而确认理论框架的适用性。
• 采用数值模拟，比较不同变现时间分布及不同非流动性水平下的最优消费与投资策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典默顿模型相比，具有随机变现时间的非流动性资产如何影响最优消费与投资策略？
• RQ2 在具有随机变现时间的投资组合优化问题中，HJB方程的粘性解在何种条件下存在？
• RQ3 指数与威布尔分布变现时间下的最优策略有何差异？哪种分布更能反映现实中的非流动性模式？
• RQ4 当非流动性资产在投资组合中的占比逐渐减小时，最优策略在多大程度上趋同于默顿解？
• RQ5 当非流动性资产占总财富超过5%时，非流动性对风险资产配置与消费水平的定量影响如何？

主要发现

• 本文证明了在指数与威布尔分布的变现时间下，HJB方程的粘性解均存在且唯一。
• 对于形状参数k > 1的威布尔分布，价值函数的衰减速率快于e^(-κt)，验证了理论框架的有效性。
• 数值结果表明，当非流动性资产占投资组合价值超过5%时，最优消费与投资策略与默顿的两资产模型存在显著偏离。
• 当非流动性资产的价值趋于零（即z → 0）时，所有最优策略均收敛至两资产投资组合的古典默顿解。
• 在非流动性存在的情况下，最优风险资产配置比例低于默顿模型中的水平，尤其当非流动性资产占比较大时更为明显。
• 与指数分布相比，威布尔分布导致的最优策略偏离默顿模型更为显著，尤其在k > 1时，更真实地反映了非流动性动态。