[论文解读] Portfolio Optimization under Small Transaction Costs: a Convex Duality Approach

Jan Kallsen, Shen Li|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 24

一句话总结

本文通过影子价格过程的凸对偶方法，严格验证了在小额比例交易成本下主导阶最优交易策略及其福利影响。在明确定义的正则性条件下，确认了Kallsen和Muhle-Karbe（2013）的形式结果，通过对偶与鞅技术建立了广义伊tô扩散设定下的近似最优性。

ABSTRACT

We consider an investor with constant absolute risk aversion who trades a risky asset with general Ito dynamics, in the presence of small proportional transaction costs. Kallsen and Muhle-Karbe (2012) formally derived the leading-order optimal trading policy and the associated welfare impact of transaction costs. In the present paper, we carry out a convex duality approach facilitated by the concept of shadow price processes in order to verify the main results of Kallsen and Muhle-Karbe under well-defined regularity conditions.

研究动机与目标

• 严格验证Kallsen和Muhle-Karbe（2013）针对小额比例交易成本下指数效用最大化的主导阶最优交易策略及其福利成本。
• 基于影子价格过程的凸对偶框架，建立候选策略的存在性与最优性。
• 为摩擦市场的小成本渐近分析提供粘性解法与均质化方法的概率替代方案。
• 确认基于影子价格过程导出的对偶控制可提供与原问题候选策略在主导阶一致的上界。
• 将对偶方法拓展至非马氏、一般伊tô扩散模型，其中值函数可能无法显式表达。

提出的方法

• 采用基于影子价格过程的凸对偶框架，将摩擦投资组合问题转化为等价的无摩擦问题。
• 利用一致价格系统概念，在其定义的对偶测度下使最优策略成为鞅。
• 应用广义贝叶斯公式在物理测度与对偶测度之间转换，保持鞅性质。
• 通过影子价格过程构造对偶控制，并证明其对值函数提供上界。
• 通过证明对偶上界与原问题候选策略的效用在主导阶一致，证明对偶间隙在主导阶消失。
• 利用杜布最大不等式及漂移与波动率比有界的性质，确保效用过程在L1范数下的可积性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kallsen和Muhle-Karbe（2013）导出的主导阶最优交易策略在严格的概率与分析条件下是否依然成立？
• RQ2 基于影子价格过程的凸对偶方法是否可用于验证非马氏、一般伊tô扩散设定下候选策略的最优性？
• RQ3 在小成本极限下，对偶间隙在多大程度上消失？能否通过鞅与测度变换技术加以证明？
• RQ4 基于影子价格过程的对偶控制在交易成本存在时，如何作为值函数的紧致上界？
• RQ5 能否不依赖粘性解法或均质化理论，建立候选策略的最优性？

主要发现

• 在漂移与波动率过程满足明确定义的正则性条件下，Kallsen和Muhle-Karbe（2013）导出的主导阶最优交易策略得到严格验证。
• 影子价格过程存在，且可将摩擦问题转化为无摩擦问题，从而启用对偶方法。
• 基于影子价格过程导出的对偶控制为值函数提供了上界，且该上界与原问题候选策略的效用在交易成本的一阶项内一致。
• 对偶间隙在主导阶消失，证实候选策略在小成本情形下近似最优。
• 最优策略在对偶测度下为鞅，且对应的财富过程为一致可积。
• 该方法适用于一般伊tô过程，包括非马氏模型，且无需事先知道值函数的显式表达。