[论文解读] Poset Ramsey Numbers for Boolean Lattices

Linyuan Lü, Joshua C. Thompson|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过组合与极值偏序集技术，改进了布尔格中偏序集Ramsey数的上界，对 $ R(Q_n, Q_n) $、$ R(Q_2, Q_n) $ 和 $ R(Q_3, Q_n) $ 建立了更紧致的估计。关键结果包括 $ R(Q_n, Q_n) \to n^2 - n + 2 $，显著降低了先前的上界，并支持了如下猜想：当 $ m, n $ 较大时，$ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $。

ABSTRACT

A subposet $Q'$ of a poset $Q$ is a extit{copy of a poset} $P$ if there is a bijection $f$ between elements of $P$ and $Q'$ such that $x \le y$ in $P$ iff $f(x) \le f(y)$ in $Q'$. For posets $P, P'$, let the extit{poset Ramsey number} $R(P,P')$ be the smallest $N$ such that no matter how the elements of the Boolean lattice $Q_N$ are colored red and blue, there is a copy of $P$ with all red elements or a copy of $P'$ with all blue elements. Axenovich and Walzer introduced this concept in extit{Order} (2017), where they proved $R(Q_2, Q_n) \le 2n + 2$ and $R(Q_n, Q_m) \le mn + n + m$, where $Q_n$ is the Boolean lattice of dimension $n$. They later proved $2n \le R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 2n$. Walzer later proved $R(Q_n, Q_n) \le n^2 + 1$. We provide some improved bounds for $R(Q_n, Q_m)$ for various $n,m \in \mathbb{N}$. In particular, we prove that $R(Q_n, Q_n) \le n^2 - n + 2$, $R(Q_2, Q_n) \le \frac{5}{3}n + 2$, and $R(Q_3, Q_n) \le \frac{37}{16}n + \frac{39}{16}$. We also prove that $R(Q_2,Q_3) = 5$, and $R(Q_m, Q_n) \le (m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)})n + m + 3$ for all $n \ge m \ge 4$.

研究动机与目标

• 改进现有关于偏序集Ramsey数 $ R(Q_m, Q_n) $ 的上界，特别是对称情形 $ R(Q_n, Q_n) $ 的上界。
• 缩小已知上界与下界之间关于 $ R(Q_m, Q_n) $ 的差距，尤其针对小的 $ m $ 和大的 $ n $。
• 为 $ R(Q_2, Q_n) $、$ R(Q_3, Q_n) $ 及 $ m \to n $ 时的一般情形 $ R(Q_m, Q_n) $ 提供更紧致的渐近估计。
• 确认如 $ R(Q_2, Q_3) = 5 $ 等确切值，为布尔格中较小Ramsey数的基础理解作出贡献。
• 支持如下猜想：当 $ m, n $ 较大时，$ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $，暗示对称情形下增长为次二次方。

提出的方法

• 对布尔格 $ Q_N $ 的着色进行分情况分析，特别关注层级集与包含链，以检测 $ Q_n $ 的单色副本。
• 利用极值偏序集构造与结构约束，限制红色或蓝色元素共存而不形成 $ Q_n $ 的单色副本的数量。
• 对维度 $ n $ 应用递归与归纳推理，利用Axenovich与Walzer以及Walzer改进的已知界。
• 提出一种新颖的基于不等式的上界估计，适用于 $ n \to m \to 4 $ 时的 $ R(Q_m, Q_n) $，表达式为 $ R(Q_m, Q_n) \to (m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)})n + m + 3 $。
• 对 $ N = 5 $ 进行详尽的分情况分析，以证明 $ R(Q_2, Q_3) = 5 $，验证所有2-着色中均存在单色 $ Q_2 $ 或 $ Q_3 $。
• 利用Lubell函数与偏序集维数概念，界定 $ Q_n $-自由族的大小，从而为Ramsey数的上界提供依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ R(Q_n, Q_n) $，最紧致的上界是什么？它与已知的下界 $ 2n $ 相比如何？
• RQ2 能否将 $ R(Q_2, Q_n) $ 的上界改进至 $ 2n + 2 $ 以下？小的 $ n $ 时的确切值是多少？
• RQ3 对于 $ R(Q_3, Q_n) $，其界如何随 $ n $ 变化？能否以改进常数的线性形式表达？
• RQ4 当 $ m \to n $ 时，是否存在 $ R(Q_m, Q_n) $ 的一般公式？该公式是否支持次二次增长？
• RQ5 确切值 $ R(Q_2, Q_3) $ 是多少？它是否可作为进一步递归界估计的基础情形？

主要发现

• 本文确立了 $ R(Q_n, Q_n) \to n^2 - n + 2 $，优于先前的上界 $ n^2 + 1 $，并缩小了与下界 $ 2n $ 的差距。
• 对于 $ R(Q_2, Q_n) $，上界被改进为 $ \frac{5}{3}n + 2 $，显著优于早期的 $ 2n + 2 $。
• 对于 $ R(Q_3, Q_n) $，上界为 $ \frac{37}{16}n + \frac{39}{16} $，为该情形提供了更紧致的线性估计。
• 推导出当 $ n \to m \to 4 $ 时 $ R(Q_m, Q_n) $ 的一般上界：$ R(Q_m, Q_n) \to \big(m - 2 + \frac{9m - 9}{(2m - 3)(m + 1)}\big)n + m + 3 $，该结果改善了渐近增长行为。
• 通过在 $ Q_5 $ 上进行详尽的分情况分析，证明了确切值 $ R(Q_2, Q_3) = 5 $，确认所有2-着色中均存在单色副本。
• 结果支持如下猜想：当 $ m, n $ 较大时，$ R(Q_m, Q_n) = o(n^2) $，暗示对称偏序集Ramsey数呈次二次增长。