[论文解读] Position space of Doubly Special Relativity

Sijie Gao, Xiaoning Wu|ArXiv.org|Nov 4, 2003

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通过分析三种方法——速度定义、动量空间变换的傅里叶变换，以及修正的克莱因-戈尔登方程的协变性，研究了双重特殊相对论（DSR）在位置空间中的实现。结果表明，在物理上一致的假设下，动量空间中的非线性洛伦兹变换会一致地导致位置空间中的标准洛伦兹变换，从而解决了早期关于能量依赖的线性变换的矛盾主张。

ABSTRACT

We consider three possible approaches to formulating coordinate transformations on position space associated with non-linear Lorentz transformations on momentum space. The first approach uses the definition of velocity and gives the standard Lorentz transformation. In the second method, we translate the behavior in momentum space into position space by means of Fourier transform. Under certain conditions, it also gives the standard Lorentz transformation on position space. The third approach investigates the covariance of the modified Klein-Gordon equation obtained from the dispersion relation.

研究动机与目标

• 解决双重特殊相对论（DSR）中动量空间的非线性洛伦兹变换与其位置空间对应物之间的不一致性。
• 确定与动量空间中非线性洛伦兹群作用相容的位置空间坐标变换。
• 澄清能量依赖的线性变换或标准洛伦兹变换中哪一种是位置空间中的正确实现。
• 研究不变1-形式 $p_a dx^a$ 与DSR中场方程协变性之间的相容性。

提出的方法

• 将提升速度 $v$ 定义为惯性观察者测量的物理速度，利用 $v = dx/dt$ 推导位置空间变换。
• 应用傅里叶变换将动量空间中的非线性洛伦兹变换映射到位置空间，假设场作为标量变换。
• 从DSR色散关系 $E^2 f_1^2 - p^2 f_2^2 = m_0^2$ 推导修正的克莱本-戈尔登方程，并分析其在线性变换下的协变性。
• 对场方程施加协变性条件以约束允许的位置空间变换，通过比较变换后方程中导数的系数进行分析。
• 以福克-洛伦兹变换作为参考模型，检验其与DSR动量空间结构的一致性。
• 分析1-形式 $p_a dx^a = dt - v dx$ 在线性变换下保持不变的条件，表明其与场方程协变性存在冲突。

实验结果

研究问题

• RQ1 动量空间中的非线性洛伦兹变换是否意味着位置空间中的非线性变换，还是其会退化为标准洛伦兹形式？
• RQ2 在DSR中，通过 $v = dx/dt$ 定义的速度是否能一致地导出位置空间中的标准洛伦兹变换？
• RQ3 DSR修正的动量空间变换的傅里叶变换是否与标准位置空间洛伦兹不变性相容？
• RQ4 从DSR色散关系导出的修正克莱本-戈尔登方程在位置空间线性变换下是否仍保持协变性？
• RQ5 1-形式 $p_a dx^a$ 的不变性是否与DSR中场方程的协变性相容？

主要发现

• 基于速度的方法直接导出了位置空间中的标准洛伦兹变换，证实了在DSR中提升速度 $v$ 即为物理速度。
• 在场作为标量变换且动量空间变换为幺正的条件下，傅里叶变换方法在位置空间中重现了标准洛伦兹变换。
• 修正克莱本-戈尔登方程在线性变换下的协变性要求仅允许纯旋转而不允许提升，表明其与能量依赖的线性变换存在矛盾。
• 1-形式 $p_a dx^a$ 在线性变换下保持不变的条件与场方程协变性相冲突，表明此类变换与场论框架不相容。
• 金博尔等人提出的能量依赖线性变换与 $\partial t'/\partial t = 1$ 的要求不一致（当提升非零时），因此被排除为有效的位置空间实现。