[论文解读] Positive and implicit stochastic volatility simulation

William Halley, Simon J. A. Malham+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文提出了一种高效且精确的广义正态分布与中心卡方分布的抽样方法，采用新颖的表示方法和对Marsaglia极坐标法及Beasley-Springer-Moro反演法的扩展。该方法在Heston模型中实现了高精度、稳健且高效的非中心卡方分布抽样，尤其在低自由度、均值回归的市场环境中（如外汇市场中常见）表现优异。

ABSTRACT

The transition probability of a Cox-Ingersoll-Ross process can be represented by a non-central chi-square density. First we prove a new representation for the central chi-square density based on sums of powers of generalized Gaussian random variables. Second we prove Marsaglia's polar method extends to this distribution, providing a simple, exact, robust and efficient acceptance-rejection method for generalized Gaussian sampling and thus central chi-square sampling. Third we derive a simple, high-accuracy, robust and efficient direct inversion method for generalized Gaussian sampling based on the Beasley-Springer-Moro method. Indeed the accuracy of the approximation to the inverse cumulative distribution function is to the tenth decimal place. We then apply our methods to non-central chi-square variance sampling in the Heston model. We focus on the case when the number of degrees of freedom is small and the zero boundary is attracting and attainable, typical in foreign exchange markets. Using the additivity property of the chi-square distribution, our methods apply in all parameter regimes.

研究动机与目标

• 解决在方差过程具有低自由度且可达到零边界时，Heston模型中随机波动率模拟的挑战。
• 为广义正态变量（构成中心卡方分布的基础）开发一种稳健且高效的抽样方法。
• 将Marsaglia的极坐标法推广至广义正态分布，以实现精确、基于拒绝采样的高效抽样。
• 基于Beasley-Springer-Moro近似，提出一种直接反演方法，实现广义正态分布抽样，反向累积分布函数近似精度达小数点后第十位。
• 通过利用卡方分布的可加性，确保方法在Heston模型所有参数区间内均适用。

提出的方法

• 通过广义正态随机变量的幂次之和，推导出中心卡方分布密度的新表示形式。
• 将Marsaglia的极坐标法扩展至广义正态分布抽样，实现精确、稳健且高效的接受-拒绝抽样算法。
• 基于Beasley-Springer-Moro算法，实现一种直接反演的广义正态分布抽样方法，反向累积分布函数近似精度达小数点后第十位。
• 将广义正态分布抽样技术应用于Heston模型方差过程中所需的非中心卡方分布随机变量模拟。
• 利用卡方分布的可加性性质，确保方法在所有参数区间（包括低自由度与均值回归动态）中均适用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过广义正态随机变量的幂次之和，推导出中心卡方分布密度的新表示形式？
• RQ2 Marsaglia的极坐标法在多大程度上可推广至广义正态分布，以实现高效且精确的抽样？
• RQ3 使用Beasley-Springer-Moro方法，广义正态分布的反向累积分布函数可实现多高的近似精度？
• RQ4 在低自由度且零边界可达到的条件下，所提出的抽样方法在Heston模型中模拟非中心卡方分布随机变量时表现如何？
• RQ5 能否通过卡方分布的可加性，使所提出的方法在Heston模型的所有参数区间内实现通用适用？

主要发现

• 通过广义正态随机变量的幂次之和，成功推导出中心卡方分布密度的新表示形式，为后续抽样方法奠定了基础。
• 成功将Marsaglia的极坐标法扩展至广义正态分布抽样，获得一种精确、稳健且高效的接受-拒绝算法。
• 将Beasley-Springer-Moro方法适配于广义正态分布抽样，实现反向累积分布函数近似精度达小数点后第十位。
• 所提出的抽样框架能够实现Heston模型中非中心卡方分布随机变量的高精度、稳健且高效的模拟，尤其在低自由度情形下表现卓越。
• 由于卡方分布的可加性，该方法在Heston模型的所有参数区间内均具有通用适用性，包括零边界为吸引且可达到的情形。