[论文解读] Positive conjugacy classes in Weyl groups

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文引入了 Weyl 群中正共轭类的概念，推广了椭圆正则类。研究证明，对于共轭类 $ C $ 的最小长度集合 $ C_{\text{min}} $ 中的元素，中心化子阶的 $ q $-类比 $ N^{w,w} $ 属于 $ \mathbb{N}[q] $，并据此将此类共轭类定义为“正”的。该结果将表示理论、Hecke 代数以及 Springer 纤维的 $ l $-进上同调联系起来，对有限域上理点多的计数具有重要意义。

ABSTRACT

Let W be a Weyl group. We introduce the notion of positive conjugacy class in W. This generalizes the notion of regular elliptic conjugacy class in the sense of Springer.

研究动机与目标

• 定义并刻画 Weyl 群中一类新的共轭类，称为“正”共轭类，推广椭圆正则类。
• 证明对于共轭类中最小长度元素，中心化子阶的 $ q $-类比 $ N^{w,w} $ 属于 $ \mathbb{N}[q] $。
• 将正性条件与 Springer 纤维的 $ l $-进上同调的表示理论性质及 Frobenius 作用联系起来。
• 提出猜想：若共轭类为正，则其 $ G^F $-模结构中，上同调分量彼此不相交。

提出的方法

• 将 $ q $-类比 $ N^{w,w} $ 定义为在 Iwahori-Hecke 代数 $ H $ 上，映射 $ h \mapsto T_w h T_{w^{-1}} $ 的迹。
• 利用 $ \operatorname{tr}(T_w, E_v) $ 在不可约 $ H $-模 $ E_v $ 的 $ C_{\text{min}} $ 上为常数这一事实，该结论源自 Geck 和 Pfeiffer 的结果。
• 证明 Hecke 代数的结构常数 $ \phi(a,a',b) $ 在首项系数上满足非负性与支撑条件。
• 证明 $ f(a,a'',a')_{|a|+|a''|} \geq 0 $，且当且仅当 $ S_a \subset \mathcal{L}_{a'} $ 且 $ S_{a''} \subset \mathcal{R}_{a'} $ 时等于 1，该条件控制了 $ T_a T_{a'} T_{a''} $ 的首项。
• 应用 Grothendieck-Lefschetz 轨点公式，将 $ N^{w,w}(q^e) $ 与 Frobenius 特征值为 $ q^{j/2}\lambda_\circ $ 的 $ l $-进上同调群的迹联系起来。
• 提出猜想：若 $ C $ 为正，则对所有 $ i \not\equiv i' \mod 2 $，有 $ H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l) $ 与 $ H^{i'}_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)^* $ 的上同调分量不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于共轭类 $ C $ 中的 $ w $，何时中心化子阶的 $ q $-类比 $ N^{w,w} $ 是具有非负整数系数的多项式？
• RQ2 当 $ w \in C_{\text{min}} $ 时，$ N^{w,w} \in \mathbb{N}[q] $ 的几何与表示论意义是什么？
• RQ3 共轭类的正性如何与 Springer 纤维的 $ l $-进上同调结构相关联？
• RQ4 共轭类的正性是否意味着 $ H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l) $ 的上同调分量在 $ i \not\equiv i' \mod 2 $ 时彼此不相交？
• RQ5 正性条件能否仅通过 Hecke 代数中结构常数 $ \phi(a,a',b) $ 的支撑来刻画？

主要发现

• 多项式 $ N^{w,w} $ 属于 $ \mathbb{N}[q] $ 当且仅当共轭类 $ C $ 为正，即 $ C \neq \{1\} $ 且对所有 $ w \in C_{\text{min}} $ 有 $ N^{w,w} \in \mathbb{N}[q] $。
• 结构常数 $ \phi(a,a',b) $ 的首项系数非负，且当且仅当 $ a' = b $、$ S_a \subset \mathcal{L}_{a'} $ 或 $ |b| < |a'| $ 时等于 1，右支撑也有类似结论。
• 对于 $ T_a T_{a'} T_{a''} = \sum_b f(a,a',a'',b) T_b $，系数 $ f(a,a',a'',a')_{|a|+|a''|} $ 非负，且当且仅当 $ S_a \subset \mathcal{L}_{a'} $ 且 $ S_{a''} \subset \mathcal{R}_{a'} $ 时等于 1。
• 一般线性群 $ \mathcal{N}_G $ 的 $ \mathbb{F}_q $-理点多的个数为 $ N^{w,w}(q) $，表明了 $ q $-类比的算术意义。
• 上同调分解 $ H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l) \cong \bigoplus_\circ V^i_{\circ,j} \otimes \circ $ 暗示 $ N^{w,w} = \sum_{i,i',j,j',\circ} (-1)^{i+i'} \dim V^i_{\circ,j} \dim V^{i'}_{\circ^*,j'} v^{j+j'} $，将上同调与 $ q $-类比联系起来。
• 猜想：若 $ C $ 为正且 $ w \in C_{\text{min}} $，则对所有 $ i \not\equiv i' \mod 2 $，有 $ G^F $-模 $ H^i_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l) $ 与 $ H^{i'}_c(X_w, \overline{\mathbb{Q}}_l)^* $ 的分量不相交。