[论文解读] Positive definite distributions and subspaces of $L_{-p}$ with applications to stable processes

Alexander Koldobsky|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 1996

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用 31

一句话总结

本文提出对 Blaschke-Levy 表示的新型解析延拓至负 $ p $，通过正定分布定义了赋范空间到 $ L_{-p} $ 的嵌入。证明了当且仅当 $ p \in [n-3, n) $ 时，$ \ell_q^n $ 空间（其中 $ 2 < q \leq \infty $）可嵌入 $ L_{-p} $，并利用该框架推导出稳定过程的新相关性不等式，表明在特定依赖结构下有 $ \mathbb{E}(\max_i |X_i|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\max_i |Y_i|^{-p}) $。

ABSTRACT

We define embedding of an $n$-dimensional normed space into $L_{-p},\ 0

研究动机与目标

• 将经典的 Blaschke-Levy 表示从 $ L_p $ 扩展至 $ L_{-p} $，适用于 $ 0 < p < n $，以实现对 $ p > 0 $ 时无法嵌入 $ L_p $ 的赋范空间的分析。
• 通过使用正定分布表征 $ L_{-p} $ 嵌入，解决 $ \ell_q^n $（其中 $ q > 2 $）的 1938 年 Schoenberg 问题。
• 开发一种新的分析框架，利用 $ L_{-p} $ 嵌入推导标准方法失效的稳定过程不等式。
• 在特定依赖约束下，为对称 $ q $-稳定向量的范数负幂期望建立相关性不等式。

提出的方法

• 通过 Blaschke-Levy 表示的解析延拓定义 $ L_{-p} $ 嵌入，将经典的 $ L_p $ 框架扩展至负指数。
• 证明一个赋范空间嵌入 $ L_{-p} $ 当且仅当 $ \|x\|^{-p} $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上的正定分布。
• 利用广义 Bochner 定理将 $ \|x\|^{-p} $ 表示为正温测度 $ \mu $ 的傅里叶变换。
• 应用 Parseval 恒等式及 $ q $-稳定向量的特征函数表示，将 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) $ 计算为涉及 $ \mu $ 的 $ \mathbb{R}^n $ 上的积分。
• 利用不等式 $ \|a + b\|_q^q + \|a - b\|_q^q \geq 2(\|a\|_q^q + \|b\|_q^q) $（当 $ q \leq 2 $ 时）比较不同依赖结构下的期望。
• 通过对称性与齐次性假设，将 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) $ 与 $ \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ 的比较简化为涉及测度 $ \mu $ 的积分比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $ p \in (0,n) $，当 $ 2 < q \leq \infty $ 时，$ \ell_q^n $ 空间可等距嵌入 $ L_{-p} $？
• RQ2 能否通过使用 $ L_{-p} $ 嵌入，将稳定过程理论扩展至 $ p > 0 $ 时不在 $ L_p $ 中的范数？
• RQ3 当分量具有混合依赖结构时，可为 $ q $-稳定向量范数的负幂期望推导出哪些不等式？
• RQ4 当 $ q > 2 $ 时，$ \|x\|^{-p} $ 的正定性如何与 $ \ell_q^n $ 空间的几何结构相关？
• RQ5 在给定依赖约束下，$ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ 成立的 $ p $ 的范围是什么？

主要发现

• 当且仅当 $ p \in [n-3, n) $ 时，$ \ell_q^n $ 空间（其中 $ 2 < q \leq \infty $）可嵌入 $ L_{-p} $，解决了 1938 年 Schoenberg 问题的负 $ p $ 情况。
• 对于 $ 0 < p < n $，函数 $ \|x\|^{-p} $ 是 $ \mathbb{R}^n $ 上的正定分布当且仅当赋范空间 $ (\mathbb{R}^n, \|\cdot\|) $ 可等距嵌入 $ L_{-p} $。
• 对于对称 $ q $-稳定向量 $ X $ 和 $ Y $（其中 $ 0 < q \leq 2 $），在指定依赖结构下，对所有 $ p \in [n-3, n) $，有 $ \mathbb{E}(\max_{i=1,\dots,n} |X_i|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\max_{i=1,\dots,n} |Y_i|^{-p}) $。
• 对于所有满足对称性条件 (*) 的齐次 $ n $-维空间，不等式 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ 在 $ p \in [n-1, n) $ 时成立。
• 对于 $ B = \ell_q^n $（其中 $ n \geq 3 $，$ 2 < q \leq \infty $，且 $ p \in [n-3, n) $），不等式 $ \mathbb{E}(\|X\|^{-p}) \geq \mathbb{E}(\|Y\|^{-p}) $ 成立，将已知结果扩展至此前难以处理的情形。
• 使用 $ L_{-p} $ 嵌入的方法为在标准 $ L_p $ 方法失效时推导相关性不等式提供了新工具。