[论文解读] Positive Definiteness and Semi-Definiteness of Even Order Symmetric Cauchy Tensors

Haibin Chen, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|May 25, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 19被引用 11

一句话总结

本文建立了偶數階對稱柯西張量正半定與正定性的必要與充分條件，證明此類張量正半定當且僅當其生成向量為正，正定當且僅當其生成向量為正且彼此互異。結果擴展了費德勒對對稱柯西矩陣的研究，並提供了譜性質，包括相關齊次多項式的單調性及對赫米特積下的封閉性。

ABSTRACT

Motivated by symmetric Cauchy matrices, we define symmetric Cauchy tensors and their generating vectors in this paper. Hilbert tensors are symmetric Cauchy tensors. An even order symmetric Cauchy tensor is positive semi-definite if and only if its generating vector is positive. An even order symmetric Cauchy tensor is positive definite if and only if its generating vector has positive and mutually distinct entries. This extends Fiedler's result for symmetric Cauchy matrices to symmetric Cauchy tensors. Then, it is proven that the positive semi-definiteness character of an even order symmetric Cauchy tensor can be equivalently checked by the monotone increasing property of a homogeneous polynomial related to the Cauchy tensor. The homogeneous polynomial is strictly monotone increasing in the nonnegative orthant of the Euclidean space when the even order symmetric Cauchy tensor is positive definite. Furthermore, we prove that the Hadamard product of two positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors is a positive semi-definite (positive definite respectively) tensor, which can be generalized to the Hadamard product of finitely many positive semi-definite (positive definite respectively) symmetric Cauchy tensors. At last, bounds of the largest H-eigenvalue of a positive semi-definite symmetric Cauchy tensor are given and several spectral properties on Z-eigenvalues of odd order symmetric Cauchy tensors are shown. Further questions on Cauchy tensors are raised.

研究动机与目标

• 將費德勒對對稱柯西矩陣的研究結果推廣至高階對稱柯西張量。
• 根據其生成向量，表徵偶數階對稱柯西張量的正半定性與正定性。
• 探討譜性質，包括齊次多項式的單調性與特徵值行為。
• 研究正半定與正定柯西張量在赫米特積下的封閉性。
• 探討奇數階對稱柯西張量的 Z-特徵值性質。

提出的方法

• 透過生成向量 $ c \in \mathbb{R}^n $ 定義偶數階對稱柯西張量，其中元素為 $ c_{i_1\cdots i_m} = \frac{1}{c_{i_1} + \cdots + c_{i_m}} $，且所有分母非零。
• 證明偶數階對稱柯西張量正半定當且僅當其生成向量為正。
• 建立其正定當且僅當生成向量為正且彼此互異的條件。
• 顯示正半定性等價於在非負卦限上，與張量相關的齊次多項式具有單調遞增性質。
• 證明有限個正半定（或正定）對稱柯西張量的赫米特積仍為正半定（或正定）。
• 透過 Z-特徵值的積分表達式分析譜性質，並推導 H-特徵值的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 偶數階對稱柯西張量正半定性的必要與充分條件為何？
• RQ2 何種條件可確保偶數階對稱柯西張量的正定性？
• RQ3 相關齊次多項式的單調性與張量的正定性有何關係？
• RQ4 正半定對稱柯西張量的赫米特積是否仍為正半定？
• RQ5 奇數階對稱柯西張量的 Z-特徵值有何譜性質？

主要发现

• 偶數階對稱柯西張量正半定當且僅當其生成向量為正。
• 偶數階對稱柯西張量正定當且僅當其生成向量為正且彼此互異。
• 偶數階對稱柯西張量的正半定性等價於與其相關的齊次多項式在非負卦限上為單調遞增。
• 若張量正定，則其相關齊次多項式在非負卦限上為嚴格單調遞增。
• 有限個正半定（或正定）對稱柯西張量的赫米特積仍為正半定（或正定）。
• 對於生成向量為正的奇數階對稱柯西張量，任一正的 Z-特徵值對應非負的 Z-特徵向量，任一負的 Z-特徵值對應非正的 Z-特徵向量。