[论文解读] Positive Eigenfunctions of Markovian Pricing Operators: Hansen-Scheinkman Factorization, Ross Recovery and Long-Term Pricing

Likuan Qin, Vadim Linetsky|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 63被引用 17

一句话总结

本文为具有连续时间Borel右过程和正局部鞅随机折现因子的马尔可夫资产定价模型建立了谱理论。证明了遍历正特征函数的唯一性，将Hansen-Scheinkman因子分解和Ross恢复定理由离散时间有限状态链推广至一般遍历扩散过程，并推导了长期期限的渐近行为，通过排除爆炸性或陷入的短期利率行为，确保了经济上稳定的动态。

ABSTRACT

This paper develops a spectral theory of Markovian asset pricing models where the underlying economic uncertainty follows a continuous-time Markov process X with a general state space (Borel right process (BRP)) and the stochastic discount factor (SDF) is a positive semimartingale multiplicative functional of X. A key result is the uniqueness theorem for a positive eigenfunction of the pricing operator such that X is recurrent under a new probability measure associated with this eigenfunction (recurrent eigenfunction). As economic applications, we prove uniqueness of the Hansen and Scheinkman (2009) factorization of the Markovian SDF corresponding to the recurrent eigenfunction, extend the Recovery Theorem of Ross (2015) from discrete time, finite state irreducible Markov chains to recurrent BRPs, and obtain the long maturity asymptotics of the pricing operator. When an asset pricing model is specified by given risk-neutral probabilities together with a short rate function of the Markovian state, we give sufficient conditions for existence of a recurrent eigenfunction and provide explicit examples in a number of important financial models, including affine and quadratic diffusion models and an affine model with jumps. These examples show that the recurrence assumption, in addition to fixing uniqueness, rules out unstable economic dynamics, such as the short rate asymptotically going to infinity or to a zero lower bound trap without possibility of escaping.

研究动机与目标

• 为具有广义连续时间Borel右过程和正局部鞅随机折现因子的一般马尔可夫资产定价模型建立谱理论。
• 在底层马尔可夫过程在相关特征测度下为遍历的条件下，建立正特征函数的唯一性，以确保经济上有意义的动力学。
• 将随机折现因子的Hansen-Scheinkman因子分解扩展至一般遍历马尔可夫过程，超越离散时间有限状态链的范围。
• 将Ross的恢复定理由离散时间推广至连续时间、一般状态空间的马尔可夫过程。
• 在遍历特征测度下，推导定价算子的长期期限渐近行为。

提出的方法

• 将定价算子形式化为作用于Borel可测收益的半群，其中随机折现因子是马尔可夫过程的正乘法泛函。
• 引入与正特征函数 $\pi$ 相关的特征测度 $\mathbb{Q}^\pi$，在此测度下，特征证券充当定价单位。
• 应用Girsanov定理变换特征测度下状态过程的动力学，当满足特征值条件时，确保其具有均值回归和遍历性。
• 使用连续时间代数Riccati方程（CTARE）求解带跳与不带跳的仿射和二次扩散模型中的特征函数。
• 运用Itô公式和鞅表示定理推导 $\mathbb{Q}^\pi$-局部鞅 $\tilde{M}^\pi_t$ 的动态，以确保测度变换的有效性。
• 应用随机过程理论的结果——如Feller性质、不可约性及遍历性判别准则（Tweedie定理与Schilling定理）——以在特征测度下验证遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，存在唯一的正特征函数，使得在相关特征测度下马尔可夫过程为遍历？
• RQ2 如何将随机折现因子的Hansen-Scheinkman因子分解推广至连续时间、一般状态空间的马尔可夫过程？
• RQ3 Ross的恢复定理能否从离散时间有限状态马尔可夫链推广至连续时间遍历扩散过程？
• RQ4 在遍历特征测度下，定价算子的长期期限渐近行为是什么？
• RQ5 在仿射和二次扩散模型中，何种条件可确保短期利率不会爆炸或陷入零下限？

主要发现

• 当马尔可夫过程在特征测度下为遍历时，遍历正特征函数是唯一的，这确保了稳定性并避免了爆炸性或陷入的动力学。
• Hansen-Scheinkman因子分解由遍历特征函数唯一刻画，其有效性被推广至对称或平方可积设定之外。
• Ross恢复定理由离散时间、一般状态空间的Borel右过程推广至连续时间，使从风险中性动态中恢复现实世界概率成为可能。
• 在仿射和二次扩散模型中，若关联的CTARE存在稳定解，则遍历特征函数的存在性可被保证，且对漂移矩阵和扩散矩阵有明确条件。
• 对于带跳的JCIR过程，通过正转移密度的存在性及平稳分布的存在性，确立了遍历性，证实了拓扑遍历性并满足遍历性判别准则。
• 推导出定价算子的长期期限渐近行为，表明其收敛于投影至遍历特征函数，该函数主导长期风险中性定价。